金沢大学 2025年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

金沢大学2025年度第2問

実数 a > 0 に対し，座標平面上の点 P(a, 0) をとる。曲線 y = (1/3)x^(3/2) (x ≧ 0) を C とする。点 Q が曲線 C 上を動くとき，PQ² の最小値を与える点 Q の x 座標を F(a) とし，PQ² の最小値を G(a) とする。次の問いに答えよ。

(1) F(a) を求めよ。

(2) lim_(a→+0) (F(a) - a)/a² を求めよ。

(3) lim_(a→+0) G(a)/a³ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $F(a)=\sqrt{9+6a}-3$ 。 (2) $\displaystyle -\frac16$ 。 (3) $\displaystyle \frac19$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$Q=(t,t^{3/2}/3)$ （ $t\ge0$ ）とおくと $PQ^2=D_a(t)=(t-a)^2+t^3/9$ 。 (1) $D'_a(t)=2(t-a)+t^2/3$ 。 $D''_a(t)=2+2t/3>0$ なので $D'_a$ は増加し、唯一の正の零点 $t_0=\sqrt{9+6a}-3$ の前後で負から正に変わる。従って $F(a)=\sqrt{9+6a}-3.$ (2) 有理化より $\displaystyle \frac{F(a)-a}{a^2}=-\frac1{\sqrt{9+6a}+3+a}\longrightarrow-\frac16.$ (3) 停留条件から $a=F+F^2/6$ 、従って $G(a)=(F-a)^2+F^3/9=F^3(F/36+1/9).$ $F/a=6/(\sqrt{9+6a}+3)\to1,F\to0$ より $G(a)/a^3\to1/9$ 。

この問題で使う考え方

距離の最小化
有理化

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。