3藤田医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

藤田医科大学 2024年度 一般前期 数学 問題3

問題 ID: `MM-4e9df2ae4b7f-Q3`

$\overrightarrow{OA}=(1,0)$、$\overrightarrow{OB}=(1,1)$ だから、媒介変数表示から $$P=(x,y)=(t^2+2t+st,\ st), \qquad 0\le s\le1,\quad0\le t\le1.$$ 従って $y=st$ である。固定した $t$ では $0\le y\le t$、また $x=t^2+2t+y$。固定したyで $y\le t\le1$ となり、$t^2+2t$ はこの範囲で増加するため $$y^2+3y\le x\le y+3,\qquad 0\le y\le1. \tag{1}$$ 逆に(1)を満たす点には、連続かつ増加する関数 $t^2+2t$ の値域から $y\le t\le1$ を満たす $t$ が対応し、$t>0$ のとき $s=y/t$ とおけば $0\le s\le1$ を満たす（$t=0$ の場合は原点となる）。このように $s$ を選べるので、この条件は必要十分である。

(1) 領域の図示

$$\boxed{D=\{(x,y):0\le y\le1,\ y^2+3y\le x\le y+3\}}.$$ 境界は、底辺 $y=0$ の線分 $(0,0)$ から $(3,0)$、直線 $x=y+3$ 上の線分 $(3,0)$ から $(4,1)$、および放物線 $x=y^2+3y$ 上の弧 $(0,0)$ から $(4,1)$ である。これらに囲まれた部分を図示すればよい。

(2) 面積

各高さyでの横幅は $(y+3)-(y^2+3y)=3-2y-y^2$。よって $$\displaystyle \operatorname{Area}(D) =\int_0^1(3-2y-y^2)\,dy =\left[3y-y^2-\frac{y^3}{3}\right]_0^1 =\boxed{\frac53}.$$

(3) x軸まわりの回転体の体積

(1)をxについて見直す。放物線境界の逆関数は $$\displaystyle y=Y(x)=\frac{\sqrt{9+4x}-3}{2},\qquad0\le x\le4.$$ xの縦断面では、$0\le x\le3$ で内半径0、外半径 $Y(x)$。$3\le x\le4$ では不等式 $x\le y+3$ より内半径 $x-3$、外半径 $Y(x)$ となる。従って $$\displaystyle V=\pi\int_0^4Y(x)^2\,dx -\pi\int_3^4(x-3)^2\,dx.$$ 第1積分では $x=y^2+3y$、$dx=(2y+3)dy$ と置換でき、x=0から4に対しy=0から1である。したがって $$\displaystyle \int_0^4Y(x)^2dx =\int_0^1y^2(2y+3)dy =\frac12+1=\frac32, \qquad \int_3^4(x-3)^2dx=\frac13.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(\frac32-\frac13\right)=\frac{7\pi}{6}}.$$

**使用解法:** 媒介変数の消去と必要十分条件、水平切片での面積、放物線の逆関数を用いた円板法・円環法による回転体体積。