2藤田医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

藤田医科大学 2024年度 一般前期 数学 問題2

問題 ID: `MM-4e9df2ae4b7f-Q2`

(1) 一般項

$$\displaystyle a_{n+1}=\frac3n S_n,\qquad S_n=\sum\limits _{k=1}^n a_k$$ とおく。すると $$\displaystyle S_{n+1}=S_n+a_{n+1} =\left(1+\frac3n\right)S_n =\frac{n+3}{n}S_n.$$ $S_1=1$ なので $$\displaystyle S_n=\prod\limits _{j=1}^{n-1}\frac{j+3}{j} =\frac{(n+2)!}{3!(n-1)!} =\frac{n(n+1)(n+2)}6.$$ $S_0=0$ とおけば、これから $$\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1} =\frac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}6 =\boxed{\frac{n(n+1)}2}\quad(n\ge1).$$ この式は $n=1$ でも $a_1=1$ と一致する。

(2) 無限級数

一般項を代入すると $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_na_{n+2}} =\frac{(n+1)(n+2)/2}{[n(n+1)/2][(n+2)(n+3)/2]} =\frac2{n(n+3)} =\frac23\left(\frac1n-\frac1{n+3}\right).$$ 従って第N部分和は $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n=1}^N\frac{a_{n+1}}{a_na_{n+2}} &=\frac23\left(1+\frac12+\frac13 -\frac1{N+1}-\frac1{N+2}-\frac1{N+3}\right). \end{aligned}$$ $N\to\infty$ とすると末尾3項は0に収束するので $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_na_{n+2}} =\frac23\left(1+\frac12+\frac13\right) =\boxed{\frac{11}{9}}.$$

**使用解法:** 部分和の漸化式を解き、一般項を求めてから級数を部分分数分解し、望ましい項を消去する。