3名古屋市立大学 2021年 数学 第3問解答・解説

数列の漸化式より，$n\geq 1$に対して $$\displaystyle a_n=a_1\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+2} =2\cdot\frac{1\cdot2\cdots(n-1)}{3\cdot4\cdots(n+1)} =2\cdot\frac{2(n-1)!}{(n+1)!} =\frac{4}{n(n+1)}.$$ ここで積の値は$n=1$のときも空積を1とすることで同じ式で表される。したがって， $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}a_n =4\sum\limits _{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) =4\left(1-\frac1{N+1}\right) =\frac{4N}{N+1}.$$ よって，$N\to\infty$とすると部分和は4に近づくから， $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_n=4$。