3久留米大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $b_n=n(n+1)a_n$ とおく。漸化式の両辺に $n+1$ を掛けると $$b_{n+1}=(n+1)(n+2)a_{n+1} =n(n+1)a_n+4n=b_n+4n.$$ また $b_1=1\cdot2\cdot a_1=0$ である。したがって $$\displaystyle b_n=4\sum\limits _{k=1}^{n-1}k=2n(n-1),$$ ゆえに $$\displaystyle a_n=\frac{b_n}{n(n+1)}=\frac{2(n-1)}{n+1}.$$ 実際、この式を元の漸化式に代入すると両辺とも $2n$ となる。よって $\boxed{\text{ム}}=2,\ \boxed{\text{メ}}=1,\ \boxed{\text{モ}}=1$。

(2) $q=2r$ とおく。$q^{n+1}$ が正の実数値に収束するには、$|q|<1$ のときの極限 $0$ は除かれ、$q=1$ のときだけ正の有限値 $1$ に収束する。$q=-1$ では符号が交互に変わり、$|q|>1$ では収束しない。したがって $2r=1$、すなわち $r=1/2$ である。

(1)より $$\displaystyle ra_n=\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}.$$ $n\geq2$ では $ra_n>0$ なので、対数をとると $$\displaystyle \log\left((ra_n)^{n+1}\right) =(n+1)\log\left(1-\frac{2}{n+1}\right).$$ $u_n=-2/(n+1)$ とおけば、右辺は $$\displaystyle -2\frac{\log(1+u_n)}{u_n}$$ であり、$u_n\to0$ と $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\log(1+u)/u=1$（$\log x$ の $x=1$ における微分係数）から $-2$ に収束する。よって $(ra_n)^{n+1}\to e^{-2}>0$ であり、$\log p=-2$。したがって $\boxed{\text{ヤ}}=1,\ \boxed{\text{ユ}}=2,\ \boxed{\text{ヨラ}}=-2$ である。