2熊本大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(問1) 第2条件より、$n\ge 2$ で$$a_n-b_n=(a_{n-1}-b_{n-1})+1$$である。$a_1-b_1=2$ だから、帰納的に$$a_n-b_n=2+(n-1)=n+1.$$

(問2) $d_n=b_n-b_{n-1}$ とおく。第2条件から$a_n=a_{n-1}+d_n+1$、また$b_n=b_{n-1}+d_n$ である。よって積の差は$$\begin{aligned}a_nb_n-a_{n-1}b_{n-1}&=(a_{n-1}+b_n)d_n+b_{n-1}+d_n\\&=(2pn+3-b_n)+b_{n-1}+(b_n-b_{n-1})=2pn+3.\end{aligned}$$ここで第3条件を用いた。$a_1b_1=3$ なので、これを$n=2$ から$n$ まで加えると$$\displaystyle a_nb_n=3+\sum\limits _{k=2}^n(2pk+3)=pn(n+1)+3n-2p.$$

(問3) $a_n,b_n$ は正であるから、$S_n=a_n+b_n$ とおくと$$\displaystyle \frac{S_n}{n}=\sqrt{\left(\frac{a_n-b_n}{n}\right)^2+4\frac{a_nb_n}{n^2}}\longrightarrow\sqrt{1+4p}.$$したがって$$\displaystyle \frac{a_n}{n}\longrightarrow\alpha=\frac{\sqrt{1+4p}+1}{2},\qquad \frac{b_n}{n}\longrightarrow\beta=\frac{\sqrt{1+4p}-1}{2}.$$ここで$\alpha-\beta=1$、$\alpha+\beta=\sqrt{1+4p}$、$\alpha\beta=p$ である。$p>0$ より$\alpha>\beta>0$ なので、求める比の分母の極限は正であり、$$\displaystyle f(p)=\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha^3-\beta^3}=\frac{(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta)}{(\alpha-\beta)((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)}=\frac{(1+p)\sqrt{1+4p}}{1+3p}.$$さらに$$\displaystyle f(p)^2=\frac{(1+4p)(1+p)^2}{(1+3p)^2}=1+\frac{4p^3}{(1+3p)^2}.$$$u=4p^3/(1+3p)^2$ とおけば$u\to0$、$u/p\to0$ である。また対数関数の微分係数から$\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\log(1+u)/u=1$ だから、$$\displaystyle \lim\limits _{p\to0+}\frac{1}{p}\log f(p)=\lim\limits _{p\to0+}\frac{1}{2}\frac{\log(1+u)}{u}\frac{u}{p}=0.$$