5長崎大学 2007年 数学 第5問解答・解説

(1) 定義域は $x>0$ である。積の微分法より $$f_n'(x)=x^{n-1}(n\log x+1)$$ となる。$x^{n-1}>0$ だから、$f_n'(x)=0$ となるのは $a=e^{-1/n}$ のときであり、$0<x<a$ では $f_n'(x)<0$、$x>a$ では $f_n'(x)>0$ である。したがって $f_n$ は $0<x<a$ で減少し、$x>a$ で増加する。最小値は $$\displaystyle f_n(a)=e^{-1}\left(-\frac1n\right)=-\frac1{en}$$ である。さらに $$f_n''(x)=x^{n-2}\{n(n-1)\log x+2n-1\}$$ である。$b=e^{-(2n-1)/(n(n-1))}$ とおくと、$f_n''(x)<0$ は $0<x<b$、$f_n''(x)>0$ は $x>b$ で成り立つ。よって $x=b$ は変曲点であり、その前では上に凸、その後では下に凸である。$n\ge2$ より $b<a<1$。また、$\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}f_n(x)=0$ であり、$0<x<1$ では $f_n(x)<0$、$x=1$ では $f_n(1)=0$、$x>1$ では $f_n(x)>0$ である。さらに $x\to+\infty$ で $f_n(x)\to+\infty$ となる。これらより、グラフは原点に右側から近づき、変曲点を経て極小点 $(a,-1/(en))$ に至り、$(1,0)$ を通って右上方へ伸びる。

(2) (1) より、$m\ge2$ に対する最小値は $L_m=-1/(em)$ である。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}\frac{L_{n+1}}{n} =-\frac1e\sum\limits _{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)} =-\frac1e\sum\limits _{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) =-\frac1e\left(1-\frac1{N+1}\right).$$ $N\to\infty$ とすると、求める和は $-1/e$ である。

(3) $f_n(1)=0$ かつ $f_n'(1)=1$ だから、$x=1$ における接線は $$y=f_n'(1)(x-1)+f_n(1)=x-1$$ である。

(4) $g(x)=x^n\log x-x$ とおくと、方程式は $g(x)=k$ と同値である。$x>0$ で $$g'(x)=x^{n-1}(n\log x+1)-1,\qquad g''(x)=x^{n-2}\{n(n-1)\log x+2n-1\}.$$ $c=e^{-(2n-1)/(n(n-1))}$ とおくと $0<c<1$ であり、$g''(x)<0$ は $0<x<c$、$g''(x)>0$ は $x>c$ である。また $\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}g'(x)=-1$、$g'(1)=0$。したがって $g'$ は $0<x<c$ で減少し、$x>c$ で増加するので、$0<x<1$ では $g'(x)<0$、$x>1$ では $g'(x)>0$ となる。ゆえに $g$ は $0<x<1$ で減少し、$x>1$ で増加する。さらに $\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}g(x)=0$、$g(1)=-1$、$\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ である。よって左側の範囲 $0<x\le1$ での値は $-1$ から $0$（$0$ は含まない）まで、右側の範囲 $x\ge1$ での値は $-1$ から $+\infty$ までをとる。したがって、$k<-1$ では解は $0$ 個、$k=-1$ では $x=1$ の $1$ 個、$-1<k<0$ では各区間に一つずつ計 $2$ 個、$k\ge0$ では $x>1$ の範囲にただ一つである。