2長崎大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $f(x)=x\bigl(x^2-(2m+1)x+m^2\bigr)$ とおく。中括弧内の二次方程式の判別式は $$(2m+1)^2-4m^2=4m+1>0$$ であるから、二次方程式は相異なる2つの実数解をもつ。また、その解の積は $m^2>0$ なので、どちらの解も $0$ ではない。したがって $f(x)=0$ は、$0$ 以外に相異なる2つの実数解をもつ。

(2)　 二次方程式の解と係数の関係より $$\alpha+\beta=2m+1,\qquad \alpha\beta=m^2.$$ ここで $m>0$ だから、積 $m^2$ は正であり、$\alpha,\beta$ は同符号である。また、和 $2m+1$ は正なので、$\alpha,\beta$ はともに正である。

(3)　 $0<\alpha<\beta$ であり、 $$f(x)=x(x-\alpha)(x-\beta)$$ である。したがって、$0<x<\alpha$ では $f(x)>0$、$\alpha<x<\beta$ では $f(x)<0$ となる。曲線と $x$ 軸で囲まれる二つの部分の面積が等しいという条件は $$\displaystyle \int_0^\alpha f(x)\,dx=-\int_\alpha^\beta f(x)\,dx,$$ すなわち $\displaystyle \int_0^\beta f(x)\,dx=0$ と同値である。よって $$\displaystyle 0=\int_0^\beta \{x^3-(\alpha+\beta)x^2+\alpha\beta x\}\,dx =\frac{\beta^4}{4}-\frac{(\alpha+\beta)\beta^3}{3}+\frac{\alpha\beta^3}{2} =\frac{\beta^3(2\alpha-\beta)}{12}.$$ $\beta>0$ より $\beta=2\alpha$ である。したがって、(2)の関係から $$3\alpha=2m+1,\qquad 2\alpha^2=m^2.$$ $m>0,\alpha>0$ より $m=\sqrt{2}\alpha$ であるから、$3\alpha=2\sqrt{2}\alpha+1$、すなわち $$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}.$$ よって $\beta=2\alpha=6+4\sqrt{2}$、$m=\sqrt{2}\alpha=4+3\sqrt{2}$ である。実際、これらは $3\alpha=2m+1$ および $2\alpha^2=m^2$ を満たすので、条件に適合する。