4帝京大学 2007年 数学 第4問解答・解説

$$f(x)=x^2-2ax+a^2+1=(x-a)^2+1$$ より、(1)の頂点は $(a,1)$ である。

共有点の $x$ 座標は $f(x)=g(x)$ を満たす。整理すると $$3x^2-2ax+a^2-1=0$$ となる。この二次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式が正であることだから $$(-2a)^2-4\cdot3(a^2-1)=12-8a^2>0,$$ すなわち $\displaystyle -\sqrt{\frac32}<a<\sqrt{\frac32}$ である。このとき解の公式から、2つの共有点の $x$ 座標は小さい順に $$\displaystyle x_1=\frac{a-\sqrt{3-2a^2}}{3},\qquad x_2=\frac{a+\sqrt{3-2a^2}}{3}$$ となる。

この範囲では $x_1<x_2$ であり、$f(x)-g(x)=3(x-x_1)(x-x_2)$ はその間で負なので、面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{x_1}^{x_2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx =3\int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)(x_2-x)\,dx. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle d=x_2-x_1=\frac{2\sqrt{3-2a^2}}{3}$ とおき、$t=x-x_1$ と置換すると $$\displaystyle S=3\int_0^d t(d-t)\,dt =3\left(\frac{d^3}{2}-\frac{d^3}{3}\right) =\frac{d^3}{2} =\frac{4}{27}(3-2a^2)^{3/2}.$$