3信州大学 2015年 数学 第3問解答・解説

直線$\ell:y=2x-1$の傾きは$2$である。接点$(1,1)$を通る条件と接線の傾きの条件は $$a+b+c=1,\qquad 2a+b=2.$$ したがって$b=2-2a$, $c=a-1$であり、放物線は $$y=a(x-1)^2+2(x-1)+1$$ と表せる。(1)でさらに$x$軸と共有点をもつためには、$ax^2+bx+c=0$が実数解をもつことが必要十分である。このとき $$\Delta=b^2-4ac=4(1-a)\geq 0.$$ もとの条件$a>0$と合わせると$0<a\leq 1$である。よって必要十分条件は$0<a\leq1,\ b=2(1-a),\ c=a-1$。

(2)で$\displaystyle a=\frac89$とすると$\displaystyle b=\frac29,\ c=-\frac19$で、 $$\displaystyle C:y=\frac89x^2+\frac29x-\frac19=\frac19(4x-1)(2x+1).$$ よって第1象限での$C$の$x$切片は$\displaystyle x=\frac14$、直線$\ell$の$x$切片は$\displaystyle x=\frac12$である。また $$\displaystyle C-\ell=\frac89(x-1)^2\geq0.$$ したがって境界は、$\displaystyle \frac14\leq x\leq\frac12$では$C$と$x$軸、$\displaystyle \frac12\leq x\leq1$では$C$と$\ell$である。求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{1/4}^{1/2}\left(\frac89x^2+\frac29x-\frac19\right)dx +\int_{1/2}^{1}\frac89(x-1)^2dx\\ &=\frac{11}{432}+\frac{1}{27}=\frac{1}{16}. \end{aligned}$$