7信州大学 2015年 数学 第7問解答・解説

$x=0$ では条件は等号で成立する。$x\ne0$ については $$\displaystyle a\le\frac{1-\cos x}{x^2}$$ であり、この比は偶関数である。$\displaystyle r(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}\quad(0<x\le\frac{\pi}{2})$ とおくと、 $$\displaystyle r'(x)=\frac{x\sin x-2(1-\cos x)}{x^3} =\frac{2\sin(x/2)\{x\cos(x/2)-2\sin(x/2)\}}{x^3}.$$ $z=x/2$ とおけば $0<z\le\pi/4$ で、$(\tan z-z)'=\tan^2z>0$ より $\tan z>z$。したがって $$x\cos(x/2)-2\sin(x/2) =2\cos z\,(z-\tan z)<0$$ であり、$r'(x)<0$。ゆえに $r$ はこの範囲で減少し、 $$\displaystyle \min\limits _{0<x\le\pi/2}r(x) =r\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{1-\cos(\pi/2)}{(\pi/2)^2} =\frac{4}{\pi^2}.$$ 端点 $x=\pi/2$ を条件に代入すれば $a\le4/\pi^2$ が必要である。一方、$r(x)\ge4/\pi^2$ より $x\ne0$ では $$\displaystyle \cos x\le1-\frac{4}{\pi^2}x^2$$ が成り立ち、$x=0$ でも等号で成り立つ。よって最大値は $\displaystyle \frac{4}{\pi^2}$。