5帝京大学 2007年 数学 第5問解答・解説

正六角形では $A,O,C,B$ をこの順に結んだ四角形は、辺の長さがすべて $1$ のひし形である。したがって平行四辺形でもあり、対辺のベクトルが等しいことから $$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =\vec b-\vec a$$ を得る。また、$A,D$ および $C,F$ はそれぞれ円の中心をはさむ対頂点なので、 $$\overrightarrow{OD}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{OF}=-\overrightarrow{OC}=\vec a-\vec b.$$ よって $$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=2\vec a-\vec b.$$

半径が $1$、かつ中心角 $\angle AOB=60^\circ$ なので $$\displaystyle |\vec a|=|\vec b|=1,\qquad \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=\frac12.$$ したがって $$|\overrightarrow{DF}|^2=|2\vec a-\vec b|^2 =4|\vec a|^2-4\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 =4-2+1=3,$$ ゆえに $|\overrightarrow{DF}|=\sqrt3$ である。また $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{DF} &=(\vec b-\vec a)\cdot(2\vec a-\vec b)\\ &=3\vec a\cdot\vec b-2|\vec a|^2-|\vec b|^2 =\frac32-2-1=-\frac32. \end{aligned}$$