三重大学 2007年数学第1問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

三重大学2007年度第1問

0 < k < 1 を満たす実数 k に対し，点 O を原点とする座標平面上に 3 点 A(1,0)，B(k^2, k√(1-k^2))，C(4k^3-3k, (4k^2-1)√(1-k^2)) をとる。ベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を α とし， $\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ のなす角を β とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) cos α と cos β を k で表し，α のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) k が 0 < k < 1 の範囲を動くとき，β を α で表せ。

(3) 2 点 O，B を通る直線と線分 AC との交点を D とするとき，点 D は線分 AC を 1:2 に内分しないことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

成分表示からベクトルの長さと内積を計算する。なす角は主値として扱い、二倍角公式でβを特定する。最後は内分点の公式で1:2の候補を置き、2ベクトルの成分が比例しないことから直線OB上にないことを示す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad \cos\alpha=k,\quad \cos\beta=2k^2-1,\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$
$(2)\quad \beta=2\alpha.$
$(3)\quad AD:DC\ne 1:2.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) } |\overrightarrow{OA}|=1,\ |\overrightarrow{OB}|=k,\ |\overrightarrow{OC}|=1,\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=k^2,\ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=k(2k^2-1),\ \therefore\cos\alpha=k,\ \cos\beta=2k^2-1.\ 0<k=\cos\alpha<1\text{ より }0<\alpha<\frac{\pi}{2}.\quad\text{(2) }\cos\beta=2\cos^2\alpha-1=\cos2\alpha;\ 0<2\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi\text{ より }\beta=2\alpha.\quad\text{(3) }AD:DC=1:2\text{ と仮定すると }D=\frac{2A+C}{3}=\left(\frac{2+4k^3-3k}{3},\frac{(4k^2-1)\sqrt{1-k^2}}{3}\right).\ k^2\frac{(4k^2-1)\sqrt{1-k^2}}3-k\sqrt{1-k^2}\frac{2+4k^3-3k}3=\frac{2k(k-1)\sqrt{1-k^2}}{3}\ne0\ (0<k<1),\text{ となる。2ベクトルが平行ならこの成分の積の差は0になるので、}D\text{ は直線 }OB\text{ 上にない。矛盾。}$

この問題で使う考え方

三角比と相互関係
二倍角の公式
内分・外分点
直線の方程式
位置ベクトル
ベクトルの内積
ベクトルによる図形の考察

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。