4三重大学 2007年 数学 第4問解答・解説

解答 直接積を計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}-2&12&-6\\3&-2&3\\9&-18&13\end{pmatrix},\qquad A^2-3A+2E=O.$$

(1) $(A-aE)^2=A^2-2aA+a^2E$ より，指定成分は $a^2-2$ と $12-8a$。

(2) 上の関係式から $$(A-aE)^2=(3-2a)A+(a^2-2)E.$$ これが $bA-abE$ に等しい。$A$ の非対角成分が $0$ でないので，まず非対角成分を比較して $b=3-2a$，次に対角成分を比較して $a^2-2=-ab$ を得る。代入すると $(a-1)(a-2)=0$。正の $b$ も必要だから $(a,b)=(1,1)$（$a=2$ では $b=-1$）。

(3) $$A^{2007}-3A^{2006}+2A^{2005}+A+E=A^{2005}(A^2-3A+2E)+A+E=A+E.$$ したがって答えは $\begin{pmatrix}1&4&-2\\1&1&1\\3&-6&6\end{pmatrix}$。