新潟大学 2002年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

新潟大学2002年度第2問

$A^2$ + A + E = O を満たす2次の正方行列Aについて，次の問いに答えよ。ただし，E，Oはそれぞれ単位行列，零行列とする。(1) αA + βE = Oを満たす実数α，βが存在するならば，α=β=0となることを示せ。(2) (xA + yE)^3 = Eを満たす実数x，yの組をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) は $A$ が実数倍の単位行列ではあり得ないことを示せばよいです。そう仮定すると実数 $c$ が $c^2+c+1=0$ を満たすことになり、判別式が負なので矛盾します。

(2) では $A^2=-A-E$ を使って三乗を $A$ と $E$ の一次式に直します。(1)でこの2行列の一次独立性が分かったため、 $A$ の係数と $E$ の係数をそれぞれ比較できます。

この問題で使う考え方

行列多項式の整理
一次独立性
係数比較

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。