5新潟大学 2002年 数学 第5問解答・解説

(1) 一の位は10で割った余りである。 $$7^4=2401\equiv 1\pmod{10}$$より、$$7^{12}=(7^4)^3\equiv 1\pmod{10}$$だから、一の位は $\boxed{1}$ である。

(2) $$117\equiv 7\pmod{10},\qquad 7^4\equiv1\pmod{10}$$である。自然数 $n$ を $n=4q+r$（$q$ は0以上の整数、$r$ は $0,1,2,3$ のいずれか）と表すと、$$117^n\equiv7^n=7^{4q+r}\equiv7^r\pmod{10}.$$$r=0,1,2,3$ に対してそれぞれ $$7^r\equiv1,7,9,3\pmod{10}$$となる。したがって、$117^n$ の一の位は1、3、7、9のいずれかである。

(3) $2002=4\cdot500+2$ なので、$$117^{2002}\equiv7^{2002}\equiv(7^4)^{500}7^2\equiv49\equiv9\pmod{10}.$$よって一の位は $\boxed{9}$ である。