11千葉大学 2002年 数学 第11問解答・解説

積和公式から $$\displaystyle \sin t\sin(nt)=\frac12\{\cos((n-1)t)-\cos((n+1)t)\}$$ である。したがって $n\ge2$ に対し $$\displaystyle I(x)=\frac{\sin((n-1)x)}{2(n-1)}-\frac{\sin((n+1)x)}{2(n+1)}.$$

(1) $n=2$ とすると $$\displaystyle I(x)=\frac12\sin x-\frac16\sin3x=\frac23\sin^3x,$$ 最後の等号には $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$ を用いた。$x\ge0$ で $\sin x\le1$ であり、$\displaystyle x=\frac\pi2+2k\pi$ ($k=0,1,2,\ldots$) で $\sin x=1$ となる。よって最大値は $\displaystyle \frac23$。

(2) 一般に $\sin((n-1)x)\le1$ と $-\sin((n+1)x)\le1$ より $$\displaystyle I(x)\le\frac1{2(n-1)}+\frac1{2(n+1)}=\frac{n}{n^2-1}.$$ 上の表示は $n$ が整数なので $2\pi$ 周期であり、$I$ は連続である。従って $x\ge0$ で最大値をとる。最大値がこの上界に等しいなら、その最大値を与える $x_0$ では両方の不等式が等号となり $$\sin((n-1)x_0)=1,\qquad \sin((n+1)x_0)=-1.$$ よってある整数 $k,\ell$ に対して $$\displaystyle (n-1)x_0=\frac\pi2+2k\pi,\qquad (n+1)x_0=\frac{3\pi}{2}+2\ell\pi.$$ 2式の差から $\displaystyle x_0=\frac\pi2+(\ell-k)\pi$。これを第1式に代入して整理すると $$(n-1)\{1+2(\ell-k)\}=1+4k.$$ 右辺は奇数、左辺の中括弧内も奇数だから、$n-1$ は奇数である。従って $n$ は偶数である。

積和公式でI(x)を二つの正弦の差として表す。n=2では三倍角を用いる。一般の上界に等号が成り立つなら二つの正弦が同時にそれぞれ1と−1になる必要がある。その位相条件を連立してnが偶数と示す。