5千葉大学 2002年 数学 第5問解答・解説

同じ色の玉は区別できず、空箱も許される。(1)では箱も区別しないので、4箱の玉数を $a\geq b\geq c\geq d\geq0$ と並べれば、各分け方を重複なく表せる。

(1) 最大の玉数 $a$ ごとに並びを数える。以下の各和は、箱が4個になるように必要な0を補う。 $$\begin{array}{c|l} a&\text{玉数の並び}\\ \hline 10&10\\ 9&9+1\\ 8&8+2,\ 8+1+1\\ 7&7+3,\ 7+2+1,\ 7+1+1+1\\ 6&6+4,\ 6+3+1,\ 6+2+2,\ 6+2+1+1\\ 5&5+5,\ 5+4+1,\ 5+3+2,\ 5+3+1+1,\ 5+2+2+1\\ 4&4+4+2,\ 4+4+1+1,\ 4+3+3,\ 4+3+2+1,\ 4+2+2+2\\ 3&3+3+3+1,\ 3+3+2+2 \end{array}$$ したがって総数は $1+1+2+3+4+5+5+2=23$ 通り。

(2) 箱は区別できるので、箱 $i$ に入れる赤玉の個数を $x_i$ とすると、$x_1+x_2+x_3+x_4=10$ を満たす非負整数解の個数を求めればよい。10個の玉を表す列に3個の仕切りを入れる方法は $$\displaystyle \binom{10+4-1}{4-1}=\binom{13}{3}=286$$ 通り。

(3) 赤玉の箱別個数を $r_1+r_2+r_3+r_4=6$、白玉の箱別個数を $w_1+w_2+w_3+w_4=4$ とする。箱は区別でき、各色の玉は区別できないから、それぞれの非負整数解の個数は $$\displaystyle \binom{6+4-1}{3}=\binom{9}{3}=84,\qquad \binom{4+4-1}{3}=\binom{7}{3}=35.$$ 赤玉と白玉の分け方は独立に選べるので、積の法則より $84\cdot35=2940$ 通り。