2千葉大学 2002年 数学 第2問解答・解説

各三角形は$O$を直角とし、$\theta=\angle OP_nQ_n$ は鋭角である。$\displaystyle a_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$ とおく。

(1) 直角三角形で$\displaystyle \cos\theta=\frac{OP_n}{P_nQ_n}$だから、$$\displaystyle P_nQ_n=\frac{a_n}{\cos\theta}=\frac{n+1}{2\cos\theta}.$$

(2) よって$\displaystyle S_k=\frac{(k+1)^2}{4\cos^2\theta}$である。したがって$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}S_k=\frac{1}{4\cos^2\theta}\left(\sum\limits _{j=1}^{n+1}j^2-1\right)=\frac{1}{4\cos^2\theta}\left(\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1\right)=\frac{n(2n^2+9n+13)}{24\cos^2\theta}.$$

(3) (2)を$n=5$に適用すると$$\displaystyle 90=\sum\limits _{k=1}^{5}S_k=\frac{2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{4\cos^2\theta}=\frac{90}{4\cos^2\theta}.$$よって$\displaystyle \cos^2\theta=\frac14$。$\theta$は直角三角形の内角なので鋭角であり$\cos\theta>0$。したがって$\displaystyle \cos\theta=\frac12$、$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$（$60^\circ$）である。

a_n=OP_n=1+(n−1)/2=(n+1)/2。θはP_nの角だからcosθ=OP_n/P_nQ_nよりP_nQ_n=(n+1)/(2cosθ)。正方形の一辺はP_kQ_kなのでS_k=(k+1)²/(4cos²θ)。平方和公式より$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^nS_k=\frac{\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6-1}{4\cos^2\theta}=\frac{n(2n^2+9n+13)}{24\cos^2\theta}$。n=5では分子の平方和が90なので90=90/(4cos²θ)。角は鋭角ゆえcosθ=1/2、$\displaystyle \theta=\frac\pi3$。