3琉球大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$\vec{OA}=\mathbf a,\ \vec{OB}=\mathbf b,\ \vec{OC}=\mathbf c$ とおく。正四面体の各面は一辺の長さが $1$ の正三角形だから、 $$\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf c\cdot\mathbf a=\frac12.$$ 内分比と $OP=t$ より、$0\le t\le1$ であり、 $$\displaystyle \vec{OD}=\frac23\mathbf a,\qquad \vec{OE}=\frac13\mathbf b,\qquad \vec{OP}=t\mathbf c.$$ したがって、$\displaystyle \vec{DE}=\frac13\mathbf b-\frac23\mathbf a$、$\displaystyle \vec{DP}=t\mathbf c-\frac23\mathbf a$ である。内積と長さを計算すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} \vec{DE}\cdot\vec{DP}&=\frac{t}{6}-\frac19-\frac{t}{3}+\frac49=\frac{2-t}{6},\\ |\vec{DE}|^2&=\frac19+\frac49-\frac29=\frac13,\\ |\vec{DP}|^2&=t^2-\frac{2t}{3}+\frac49=\frac{9t^2-6t+4}{9}. \end{aligned}$$ ここで $\displaystyle Q=9t^2-6t+4=9(t-\frac13)^2+3>0$ だから $DP\ne0$ である。よって、問1の答えは $$\displaystyle \boxed{\displaystyle \cos\angle EDP=\frac{\sqrt3(2-t)}{2\sqrt{9t^2-6t+4}}\quad(0\le t\le1)}.$$ 問2では、この式を $f(t)$ とおく。$Q>0$ であるから、 $$\displaystyle f'(t)=\frac{\sqrt3(4-30t)}{4(9t^2-6t+4)^{3/2}}.$$ したがって $f$ は $\displaystyle 0\le t<\frac{2}{15}$ で増加し、$\displaystyle \frac{2}{15}<t\le1$ で減少する。$\displaystyle Q(\frac{2}{15})=\frac{84}{25}$ より $$\displaystyle f\!\left(\frac{2}{15}\right)=\frac{\sqrt7}{3},\qquad f(0)=\frac{\sqrt3}{2},\qquad f(1)=\frac{\sqrt{21}}{14}.$$ また $f(0)>f(1)$ なので、$\displaystyle \boxed{\text{最大値 }\frac{\sqrt7}{3}\ (t=\frac{2}{15}),\quad\text{最小値 }\frac{\sqrt{21}}{14}\ (t=1)}$ である。

正四面体の頂点ベクトルの長さと相互内積を使い、$\overrightarrow{DE}$・$\overrightarrow{DP}$ と各長さを計算する。得られた余弦関数を微分して単調性を調べ、臨界点と両端で値を比較する。