4琉球大学 2022年 数学 第4問解答・解説

問1では $b_1=a_1,\ b_2=a_2-2,\ b_3=a_3-4$ とおく。条件 $a_2-a_1\ge3,\ a_3-a_2\ge3$ は $b_1<b_2<b_3$ に置き換わり、$1\le b_1<b_2<b_3\le5$。逆変換 $a_1=b_1,\ a_2=b_2+2,\ a_3=b_3+4$ があるので、個数は $$\displaystyle \binom53=10.$$

問2では $b_1=a_1,\ b_2=a_2-9,\ b_3=a_3-18$ とする。条件は $1\le b_1<b_2<b_3\le32$ と同値で、逆変換もできる。よって $$\displaystyle \binom{32}{3}=4960.$$

問3では選んだ3席の間にある円周方向の席間隔を $d_1,d_2,d_3$ とする。「2つ以上の間隔を空ける」ので各 $d_i\ge3$、また一周分の合計は20。$x_i=d_i-3$ とすれば $x_1+x_2+x_3=11$、各 $x_i\ge0$ だから、間隔の組は仕切り法で $\displaystyle \binom{13}{2}=78$ 通り。最初の選択席は20通りだが、同じ3席はどの席から数え始めてもよいので3回ずつ数えられる。したがって $$\displaystyle \frac{20}{3}\binom{13}{2}=520.$$

答え

問1 $10$通り。問2 $4960$通り。問3 $520$通り。