2琉球大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle S_d(n)=\sum\limits _{j=1}^n j^d$ とする。

**問1** $n=1$ では $S_3(1)=1=1^2\cdot2^2/4$。$S_3(k)=k^2(k+1)^2/4$ と仮定すると $$\displaystyle \begin{aligned} S_3(k+1)&=S_3(k)+(k+1)^3\\ &=\frac{(k+1)^2}{4}\{k^2+4(k+1)\} =\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}. \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、すべての正整数 $n$ で $S_3(n)=n^2(n+1)^2/4$。

**問2** 問題で与えられた恒等式 $$k^3(k+1)^3-(k-1)^3k^3=6k^5+2k^3$$ を $k=1,\ldots,n$ について加えると、左辺は望遠和となるので $$n^3(n+1)^3=6S_5(n)+2S_3(n).$$ 問1を代入すれば $$\displaystyle 6S_5(n)=\frac{n^2(n+1)^2}{2}\{2n(n+1)-1\},\qquad S_5(n)=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}.$$

**問3** 各正整数 $k$ について $$k^4(k+1)^4-(k-1)^4k^4=k^4\{(k+1)^4-(k-1)^4\}=8k^7+8k^5.$$ これを $k=1,\ldots,n$ で加えると $$n^4(n+1)^4=8S_7(n)+8S_5(n).$$ 従って問2の式から $$\begin{aligned} 24S_7(n)&=3n^4(n+1)^4-24S_5(n)\\ &=n^2(n+1)^2\{3n^2(n+1)^2-2(2n^2+2n-1)\}\\ &=n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2). \end{aligned}$$ 括弧内は整数なので、求める整除性が従う。