5愛媛大学 2022年 数学 第5問解答・解説

{ (1)}

数列 $\{a_n\}$ は初項 $6$，公差 $3$ の等差数列だから，一般項は $$a_n=6+3(n-1)=3n+3.$$ 数列 $\{b_n\}$ は初項 $3$，公比 $2$ の等比数列だから，一般項は $$b_n=3\cdot 2^{n-1}.$$

(i)　 $a_2=3\cdot2+3=9,\ a_3=3\cdot3+3=12$，$b_2=3\cdot2^{1}=6,\ b_3=3\cdot2^{2}=12$。 $$a_2=9,\quad a_3=12,\quad b_2=6,\quad b_3=12.$$

(ii)　 示すべきは，すべての整数 $n\geq 4$ について $$a_n<b_n \text{であるための必要十分条件は} 3n+3<3\cdot 2^{n-1} \text{、すなわち} n+1<2^{n-1}$$ である（両辺を正の数 $3$ で割った）。これを $n\geq4$ についての数学的帰納法で示す。

[1] $n=4$ のとき：左辺 $=n+1=5$，右辺 $=2^{n-1}=2^{3}=8$ であり，$5<8$ より成り立つ。

[2] ある $n\ (n\geq4)$ で $n+1<2^{n-1}$ が成り立つと仮定する。このとき $$2^{n}=2\cdot 2^{n-1}>2(n+1)=2n+2$$ が成り立つ（仮定の不等式の両辺を正の数 $2$倍した）。さらに $n\geq4$ より $$2n+2-(n+2)=n\geq4>0$$ だから $2n+2>n+2$。以上をあわせると $$2^{n}>2n+2>n+2=(n+1)+1$$ より，$n+1$ を $n+1$ に対応する不等式として書き直せば，$n$ を $n+1$ に置き換えた式 $$(n+1)+1<2^{(n+1)-1}$$ が成り立つ。すなわち $n+1$ のときも成り立つ。

[1],[2] より，数学的帰納法によってすべての整数 $n\geq4$ について $n+1<2^{n-1}$，したがって $a_n<b_n$ が成り立つ。（証明終わり）

{ (2)}

2次方程式 $x^{2}+sx+t=0$ の2つの解を $\alpha,\beta$（重解のときは $\alpha=\beta$）とすると，解と係数の関係より $$\alpha+\beta=-s,\qquad \alpha\beta=t$$ が成り立つ。判別式を $D=s^{2}-4t$ とし，$D\geq0$ の場合と $D<0$ の場合に分けて考える。

[a] $D\geq0$ のとき，$\alpha,\beta$ はともに実数であり，実部はそれ自身である。$\alpha<0$ かつ $\beta<0$ となるための条件を考える。2つの実数がともに負であることは，その和が負かつ積が正であることと同値である（積が正なら2数は同符号，そのうえで和が負ならその共通の符号は負である。逆にともに負なら和も積も上の符号になることは明らか）。よって $$\alpha+\beta<0\ \text{かつ}\ \alpha\beta>0 \text{であるための必要十分条件は} -s<0\ \text{かつ}\ t>0 \text{、すなわち} s>0\ \text{かつ}\ t>0.$$ この場合の条件をまとめると $$\displaystyle s>0,\quad t>0,\quad s^{2}-4t\geq0 \quad\left(\text{すなわち}\ 0<t\leq\frac{s^{2}}{4}\right).$$

[b] $D<0$ のとき，$\alpha,\beta$ は互いに共役な虚数であり，$\alpha=p+qi,\ \beta=p-qi\ (q\neq0)$ と書ける。両方の実部は $p$ で一致する。$\alpha+\beta=2p=-s$ より $\displaystyle p=-\dfrac{s}{2}$。実部が負，すなわち $p<0$ となる条件は $$\displaystyle -\frac{s}{2}<0 \text{であるための必要十分条件は} s>0.$$ また，このとき $t=\alpha\beta=p^{2}+q^{2}>0$（$q\neq0$ より）は自動的に成り立つ。この場合の条件をまとめると $$\displaystyle s>0,\quad s^{2}-4t<0 \quad\left(\text{すなわち}\ t>\frac{s^{2}}{4}\right).$$

[a],[b]の条件を $st$ 平面上で見ると，[a]は $s>0$ かつ $\displaystyle 0<t\leq \dfrac{s^{2}}{4}$，[b]は $s>0$ かつ $\displaystyle t>\dfrac{s^{2}}{4}$ であり，両者は互いに排反で，その和集合は $$s>0\ \text{かつ}\ t>0$$ に一致する（$D\geq0,D<0$ のどちらかは必ず成り立つので，全体として抜けはない）。

よって，求める条件は $$s>0\quad\text{かつ}\quad t>0$$ であり，図示すると，$st$ 平面における $s$ 軸・$t$ 軸を除いた開いた第1象限である。すなわち，$s$ 軸の正の部分（$t=0,\ s>0$）と $t$ 軸の正の部分（$s=0,\ t>0$）およびそれらの端点である原点は境界として点線（除外）で描き，その内側（第1象限内部）を斜線で塗る。

{ (3)}

$y=|x-1|-2|x+1|\ (-4\leq x\leq2)$ を，絶対値の中身の符号が変わる $x=-1,1$ を境に場合分けする。

[1] $-4\leq x<-1$ のとき，$x-1<0,\ x+1<0$ より $|x-1|=1-x,\ |x+1|=-(x+1)$。 $$y=(1-x)-2\{-(x+1)\}=1-x+2x+2=x+3.$$ これは傾き $1$ の増加関数であり，$x=-4$ で $y=-1$，$x\to-1$ で $y\to2$。

[2] $-1\leq x<1$ のとき，$x-1<0,\ x+1\geq0$ より $|x-1|=1-x,\ |x+1|=x+1$。 $$y=(1-x)-2(x+1)=1-x-2x-2=-3x-1.$$ これは傾き $-3$ の減少関数であり，$x=-1$ で $y=2$，$x\to1$ で $y\to-4$。

[3] $1\leq x\leq2$ のとき，$x-1\geq0,\ x+1>0$ より $|x-1|=x-1,\ |x+1|=x+1$。 $$y=(x-1)-2(x+1)=x-1-2x-2=-x-3.$$ これは傾き $-1$ の減少関数であり，$x=1$ で $y=-4$，$x=2$ で $y=-5$。

各区間の境界での値は一致しており（$x=-1$ で $y=2$，$x=1$ で $y=-4$），$y$ は連続な区分的1次関数である。増減をまとめると，$x=-4$ から $x=-1$ まで単調増加（$-1\to2$），$x=-1$ から $x=2$ まで単調減少（$2\to-4\to-5$）。したがって $y$ は $x=-1$ で極大かつ最大となり，最小は減少区間の右端 $x=2$ で達成される（途中の $x=1$ より $x=2$ の方が小さい）。

実際，$x=-1$ のとき $y=|-1-1|-2|-1+1|=2-0=2$。$x=2$ のとき $y=|2-1|-2|2+1|=1-6=-5$。$x=-4$ のとき $y=|-4-1|-2|-4+1|=5-6=-1$。$x=1$ のとき $y=|1-1|-2|1+1|=0-4=-4$。これらはいずれも区間端・区間境界の値であり，各区間内は線形（極値をとらない）ため，最大値・最小値はこれらの値のうちの最大・最小に一致する。

よって，$y$ は $x=-1$ のとき最大値 $2$，$x=2$ のとき最小値 $-5$ をとる。

等差・等比数列の一般項に帰納法を適用する。二次方程式は判別式の符号で実根と共役複素根に分け、絶対値関数は折れ点ごとに一次式へ直す。