4大阪公立大学 2023年 数学 第4問解答・解説

第4問

問1

$0<j<p$ なので $p$ は $j$ を割らない。また $$\displaystyle j\binom pj=p\binom{p-1}{j-1}$$ であり、右辺は $p$ で割り切れる。左辺も $p$ で割り切れ、$p$ は素数で $p\nmid j$ だから、ユークリッドの補題により $$\displaystyle p\mid\binom pj$$ である。

問2

二項定理より $$\displaystyle (m+1)^p-m^p-1 =\sum\limits _{j=1}^{p-1}\binom pj m^{p-j}.$$ 問1から各項の二項係数が $p$ で割り切れるので、右辺全体も $p$ で割り切れる。

問3

$m=0$ なら $m^p-m=0$ である。正の自然数については数学的帰納法を用いる。$m=1$ では $1^p-1=0$。ある $m\ge1$ について $p\mid(m^p-m)$ と仮定する。問2から $$p\mid\bigl((m+1)^p-m^p-1\bigr)$$ でもあるので、これらを加えると $$p\mid\bigl((m+1)^p-(m+1)\bigr).$$ よって全ての自然数 $m$ について $p\mid(m^p-m)$ である。さらに $p\nmid m$ なら $$m^p-m=m(m^{p-1}-1)$$ であり、左辺は $p$ で割り切れる。素数 $p$ が $m$ を割らないことから、ユークリッドの補題により $$p\mid(m^{p-1}-1)$$ となる。

問4

$$a=4n^2+4n-1=(2n+1)^2-2.$$ $a$ と $2n+1$ の公約数は、この式から $2$ も割る。一方 $2n+1$ は奇数なので、$2$ と $2n+1$ は互いに素である。従って $a$ と $2n+1$ の公約数は1だけであり、 $$\gcd(a,2n+1)=1$$ である。

問5

$p\mid a$ となる $a\in S$ を取り、$a=(2n+1)^2-2$ とおく。問4から $\gcd(a,2n+1)=1$ であるため、$p\mid a$ なら $p\nmid(2n+1)$ である。また $$(2n+1)^2\equiv2\pmod p.$$ 問3の結果を $m=2n+1$ に適用すると $$(2n+1)^{p-1}\equiv1\pmod p.$$ $p$ は3以上の素数なので $(p-1)/2$ は整数であり、 $$(2n+1)^{p-1} =\bigl((2n+1)^2\bigr)^{(p-1)/2} \equiv2^{(p-1)/2}\pmod p.$$ 従って $$2^{(p-1)/2}\equiv1\pmod p, \qquad \boxed{p\mid\left(2^{(p-1)/2}-1\right)}$$ となる。