2大阪公立大学 2023年 数学 第2問解答・解説

第2問

問1 $\ell$ の定義式を $$z=e^{-i\pi/3}\overline z$$ と書く。両辺に $e^{i\pi/6}$ を掛けると $$e^{i\pi/6}z=e^{-i\pi/6}\overline z =\overline{e^{i\pi/6}z}$$ となる。複素数がその共役と等しいことは実数であることと同値だから、これは $e^{i\pi/6}z$ が実数であることを表す。従って、$\ell$は実数$t$を用いて $$z=te^{-i\pi/6}$$ と表される点全体であり、原点を通り、実軸となす角が $-\pi/6$ の直線である。$z=x+iy$ とおけば、同じ条件は $$\displaystyle \operatorname{Im}(e^{i\pi/6}z) =\frac{x+\sqrt3\,y}{2}=0, \qquad\text{すなわち}\qquad y=-\frac{x}{\sqrt3}$$ である。よって $\ell$ は直線である。

問2 $\ell$ を実軸へ移す回転は $w\mapsto e^{i\pi/6}w$ である。回転後の点を実軸について対称移動すると共役をとることになり、最後に元の向きへ回転を戻す。したがって対称な点は $$e^{-i\pi/6}\overline{e^{i\pi/6}w} =e^{-i\pi/3}\overline w$$ である。

問3 $\omega=e^{2\pi i/3}$ とおく。点1を中心とする回転で $$z_1=1+\omega(z-1)=\omega z+1-\omega.$$ 続く原点中心の回転では $$z_2=\omega z_1=\omega^2z+\omega-\omega^2 =\omega^2z+i\sqrt3.$$ 問2の対称移動を施すと $$\displaystyle \begin{aligned} f(z) &=e^{-i\pi/3}\overline{z_2}\\ &=e^{-i\pi/3}(\omega\overline z-i\sqrt3)\\ &=e^{i\pi/3}\overline z-\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i. \end{aligned}$$

問4 問3の式を代入すると、定数項が両辺で消えて $$e^{i\pi/3}\overline z=-z$$ となる。$z=x+iy$ とおくと $$\displaystyle \left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)(x-iy)=-(x+iy).$$ 実部を比較すれば $x/2+\sqrt3\,y/2=-x$、すなわち $y=-\sqrt3\,x$ を得る。虚部の比較も $\sqrt3\,x/2-y/2=-y$、すなわち同じ条件となる。従って求める図形は原点を通る直線 $$\boxed{y=-\sqrt3\,x}$$ である。下図のように、傾き $-\sqrt3$ の直線を複素数平面に描けばよい。