4和歌山県立医科大学 2026年 数学 第4問解答・解説

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とおく。

(1) $z+1/z$ が実数となる点

$1/z$ があるため $z\ne0$、すなわち $x^2+y^2>0$ である。

$$\displaystyle z+\frac1z =x+iy+\frac{x-iy}{x^2+y^2}$$

の虚部は

$$\displaystyle y-\frac{y}{x^2+y^2} =\frac{y(x^2+y^2-1)}{x^2+y^2}.$$

分母は正なので、これが $0$ となる条件は

$$y=0\quad\text{または}\quad x^2+y^2=1.$$

したがって軌跡は、原点を除く実軸と単位円の和集合である。実軸と単位円の交点 $(1,0),(-1,0)$ は重複して数える。

Im ↑ .---|---. .' | '. ────●──○──●────→ Re '. | .' '---|---' |

この軌跡は原点を除く実軸、または単位円 $|z|=1$ である。

(2) $z-z^2$ が実数となる点

$$z-z^2=(x-x^2+y^2)+i\,y(1-2x)$$

だから、虚部が $0$ となる条件は

$$\displaystyle y(1-2x)=0 \text{であるための必要十分条件は} y=0\quad\text{または}\quad x=\frac12.$$

よって軌跡は実軸と直線 $x=1/2$ の和集合である。

Im ↑ │ x=1/2 │ │ │ │ ─────●───●────→ Re │ │ │ │

(3) 両方が実数となる $z$

(1) の軌跡は「実軸（ただし原点を除く）」または「単位円」、(2) の軌跡は「実軸」または「直線 $x=1/2$」である。実軸上では $z=0$ だけが $1/z$ のため除かれる。単位円と直線 $x=1/2$ の交点は

$$\displaystyle \left(\frac12\right)^2+y^2=1 \text{であるための必要十分条件は} y=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

したがって求める複素数は、$0$ でない実数と、次の二つである。

$$\displaystyle \boxed{z\text{ は0でない実数},\qquad z=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i,\qquad z=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i}.$$

(4) $z+1/z=\sqrt3$ のとき

$z\ne0$ なので両辺に $z$ を掛けて

$$z^2-\sqrt3\,z+1=0.$$

解の公式から

$$\displaystyle z=\frac{\sqrt3+i}{2}\quad\text{または}\quad z=\frac{\sqrt3-i}{2}.$$

いずれも絶対値は $1$。それぞれの偏角は $\pi/6,\ -\pi/6$ なので、対応する極形式は

$$\displaystyle \begin{array}{c|c} z & 1/z^2\\ \hline \cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} & \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \\[4pt] \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) & \cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \end{array}$$

である。実際、$z=\cos\theta+i\sin\theta$（$\theta=\pm\pi/6$）なら、$|z|=1$ より $1/z^2=\cos(-2\theta)+i\sin(-2\theta)$ となる。

検算・自己点検

(4) の二つの値は互いに共役で、どちらも $z+1/z=2\operatorname{Re}z=\sqrt3$ を満たす。(1) は分母 $x^2+y^2$ が $0$ でない条件を明示し、(3) では原点を除外した。複素数平面上の実部・虚部、複素数の極形式、二次方程式の解の公式だけを用いた。