2和歌山県立医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

放物線 $C:y=(x-3)^2$ 上の点を $Q=(u,(u-3)^2)$、直線 $\ell:y=-x$ 上の点を $P=(t,-t)$ とおく。距離の二乗を用いれば、平方根を扱わずに最小値を調べられる。

(1) $t=3$

このとき $P=(3,-3)$。$v=(u-3)^2$ とおくと $v\ge0$ であり、

$$PQ^2=(u-3)^2+\bigl((u-3)^2+3\bigr)^2 =v+(v+3)^2=v^2+7v+9.$$

したがって

$$PQ^2-9=v(v+7)\ge0.$$

等号は $v=0$、すなわち $u=3$ のときに限る。よって最近点は $Q=(3,0)$ であり、

$$\boxed{Q=(3,0),\quad PQ=3}.$$

(2) $t=-3$

このとき $P=(-3,3)$。$w=u-3$ とおくと $Q=(w+3,w^2)$ なので、

$$PQ^2=(w+6)^2+(w^2-3)^2=w^4-5w^2+12w+45.$$

これを最小値候補 $17$ との差で因数分解すると

$$PQ^2-17=w^4-5w^2+12w+28 =(w+2)^2(w^2-4w+7) =(w+2)^2\bigl((w-2)^2+3\bigr)\ge0.$$

等号は $w=-2$ のときに限る。したがって $u=w+3=1$、$Q=(1,4)$ であり、

$$\boxed{Q=(1,4),\quad PQ=\sqrt{17}}.$$

(3) $PQ$ が最小となるとき

すべての $t$ と放物線 $C$ 上の点 $Q$ の組について距離を下から評価し、その下限を実現する組を求める。$Q=(u,y)$ とおけば $y=(u-3)^2$ であり、$P=(t,-t)$ との距離の二乗は

$$\displaystyle PQ^2=(u-t)^2+(y+t)^2 =2\left(t-\frac{u-y}{2}\right)^2+\frac{(u+y)^2}{2} \ge \frac{(u+y)^2}{2}.$$

等号は $t=(u-y)/2$ のときに成立する。ここで

$$\displaystyle u+y=u+(u-3)^2 =u^2-5u+9 =\left(u-\frac52\right)^2+\frac{11}{4} \ge\frac{11}{4}.$$

よって任意の組で $\displaystyle PQ^2\ge\frac12(11/4)^2=121/32$。両方の等号が成立するのは

$$\displaystyle u=\frac52,\qquad y=\left(\frac52-3\right)^2=\frac14,\qquad t=\frac{u-y}{2}=\frac98$$

のときである。この組は全体の下限を実現するため、固定した $P=(9/8,-9/8)$ に対しても $Q=(5/2,1/4)$ が最近点となる。したがって

$$\displaystyle \boxed{P=\left(\frac98,-\frac98\right),\quad Q=\left(\frac52,\frac14\right),\quad PQ=\sqrt{\frac{121}{32}}=\frac{11\sqrt2}{8}}.$$

検算・自己点検

(1) の点では距離が $|0-(-3)|=3$。 (2) では座標差が $(4,1)$ なので距離は $\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$。 (3) では座標差が $(11/8,11/8)$ であり、距離は $\sqrt{2(11/8)^2}=11\sqrt2/8$ と一致する。全小問で距離の二乗の非負差を示し等号条件を確認した。座標による距離、平方完成、因数分解のみを用いた。