3和歌山県立医科大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$1<a\le4$、$f(x)=ax(1-x)$ とする。

(1) $0\le x\le1$ のとき

$$\displaystyle x(1-x)=\frac14-\left(x-\frac12\right)^2$$

より、$0\le x\le1$ では $x(1-x)\ge0$ かつ $x(1-x)\le1/4$ である。また $a>0$、$a\le4$ なので

$$\displaystyle 0\le f(x)=a x(1-x)\le\frac a4\le1.$$

したがって $0\le f(x)\le1$。

(2) $f(x)=x$ の実数解

$$ax(1-x)=x \text{、すなわち } x\{a(1-x)-1\}=0.$$

よって

$$\displaystyle x=0\quad\text{または}\quad x=1-\frac1a.$$

条件 $a>1$ から $1-1/a>0$ であり、二つの解は異なる。さらに $a\le4$ より $1-1/a\le3/4$ である。したがって実数解は

$$\displaystyle \boxed{x=0,\quad x=1-\frac1a}.$$

(3) $f(f(x))=x$ が異なる4つの実数解をもつ $a$

恒等式

$$f(y)-f(x)=a(y-x)(1-y-x)$$

に $y=f(x)$ を用いると

$$\begin{aligned} f(f(x))-x &=\{f(f(x))-f(x)\}+\{f(x)-x\}\\ &=\{f(x)-x\}\{1+a(1-f(x)-x)\}. \end{aligned}$$

したがって

$$f(f(x))-x =x(a-1-ax)\{a^2x^2-a(a+1)x+(a+1)\}.$$

第1因子から得る二つの解は $x=0$ と $x=(a-1)/a$ であり、$a>1$ のため異なる。第2因子を $B(x)$ とおくと、その判別式は

$$\begin{aligned} D &=\{a(a+1)\}^2-4a^2(a+1)\\ &=a^2(a+1)(a-3). \end{aligned}$$

- $1<a<3$ のとき、$D<0$ なので $B(x)=0$ に実数解はなく、全体の実数解は二つである。 - $a=3$ のとき、$B(x)=9x^2-12x+4=(3x-2)^2$ である。その重解 $x=2/3$ は第1因子からの解 $x=(a-1)/a=2/3$ と一致するため、異なる実数解は $0,2/3$ の二つである。 - $3<a\le4$ のとき、$D>0$ なので $B(x)=0$ は異なる二つの実数解 $$\displaystyle x=\frac{a+1\pm\sqrt{(a+1)(a-3)}}{2a}$$ をもつ。これらが第1因子の解と重ならないことを確認する。$B(0)=a+1>0$ なので $0$ とは異なる。また $x_*=(a-1)/a$ では $f(x_*)=x_*$ だから $$B(x_*)=1+a\{1-f(x_*)-x_*\}=1+a(1-2x_*)=3-a\ne0.$$ よってこの二解は $x=0,\ (a-1)/a$ のどちらとも異なる。

以上より異なる4つの実数解をもつ条件は

$$\boxed{3<a\le4}.$$

検算・自己点検

合成式の因数分解は $f(f(x))-f(x)$ の差の因数分解と $f(x)-x$ の和で導いた。$a=3$ で残りの二次因子の重解が固定点と一致する点を別に確認し、単に判別式だけで四解と数えないようにした。$a=4$ では判別式が正で、固定点とも重ならず、条件の上端を含む。平方完成、不等式、因数分解、判別式と二次方程式の解の公式だけを用いた。