1和歌山県立医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

問題の確認

三角形 $ABC$ の辺長を $BC=a,\ CA=b,\ AB=c$、内接円の半径を $r$、半周長を $s=(a+b+c)/2$ とする。接点 $P,Q,R$ はそれぞれ辺 $BC,CA,AB$ 上にあり、$S=[ABC]$、$T=[PQR]$ である。三角形は非退化なので $a,b,c>0$ かつ三角不等式を満たす。

(1) $T/S$

同じ点から円に引いた接線の長さは等しい。各頂点から接点までの長さを $x_A,x_B,x_C$ とすると

$$\displaystyle x_A=s-a=\frac{b+c-a}{2},\qquad x_B=s-b=\frac{c+a-b}{2},\qquad x_C=s-c=\frac{a+b-c}{2}.$$

たとえば $x_A+x_B=c$、$x_B+x_C=a$、$x_C+x_A=b$ である。

接点 $Q,R$ における半径は接線に垂直である。四角形 $AQIR$（$I$ は内心）の内角の和から

$$\angle QIR=180^\circ-A.$$

同様に、接点 $R,P$ に対する中心角は $180^\circ-B$、接点 $P,Q$ に対する中心角は $180^\circ-C$ である。円周角は同じ弧に対する中心角の半分なので

$$\displaystyle \angle QPR=90^\circ-\frac A2,\quad \angle PRQ=90^\circ-\frac C2,\quad \angle PQR=90^\circ-\frac B2.$$

三角形 $PQR$ の外接円半径は $r$ である。正弦定理より、外接円半径を $r$ とすると各辺は $2r\sin(\text{対角})$ と表せる。よって三角形の面積公式から

$$\displaystyle T=2r^2\sin\angle QPR\sin\angle PRQ\sin\angle PQR =2r^2\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2.$$

また $S=rs$ である。余弦定理から得られる半角公式

$$\displaystyle \cos\frac A2=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},\quad \cos\frac B2=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ca}},\quad \cos\frac C2=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$$

を掛け合わせると

$$\displaystyle \cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2 =\frac{s^{3/2}\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}.$$

面積について $S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$（ヘロンの公式）かつ $S=rs$ なので

$$\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)=r^2s, \quad \cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2=\frac{rs^2}{abc}.$$

したがって

$$\displaystyle \frac TS=\frac{2r^2}{rs}\cdot\frac{rs^2}{abc} =\frac{2r^2s}{abc} =\boxed{\frac{2(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}} =\boxed{\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{4abc}}.$$

(2) $a=t,\ b=c=1$ のとき

三角形が非退化である条件は $0<t<2$ である。半周長は $s=(t+2)/2$ だから

$$\displaystyle s-a=\frac{2-t}{2},\qquad s-b=s-c=\frac t2.$$

(1) の式を用いると

$$\displaystyle \frac TS=\frac{2\cdot\frac{2-t}{2}\cdot\frac t2\cdot\frac t2}{t\cdot1\cdot1} =\frac{t(2-t)}4 =\frac14-\frac{(t-1)^2}{4}.$$

全域 $0<t<2$ で $(t-1)^2\ge0$ だから $T/S\le1/4$。等号は $t=1$ で成立し、この値は許容範囲内である。よって最大値は

$$\displaystyle \boxed{\frac TS=\frac14\quad(t=1)}.$$

検算・自己点検

正三角形 $a=b=c=1$ を代入すると (1) は $T/S=2(1/2)^3=1/4$ となる。接点三角形の各辺は元の三角形の各辺の半分なので、面積比 $1/4$ と一致する。(2) も $t=1$ で正三角形となり、同じ比を与える。用いたのは接線の長さ、円周角、正弦定理、半角公式、ヘロンの公式、平方完成であり、高校範囲内である。