1京都府立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ とする。内分の公式より $$\overrightarrow{OD}=(1-t)\boldsymbol{b}+t\boldsymbol{c},\quad \overrightarrow{OE}=(1-t)\boldsymbol{c}+t\boldsymbol{a},\quad \overrightarrow{OF}=(1-t)\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}.$$ したがって $$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} =\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}.$$ 三角形の重心の位置ベクトルは頂点の位置ベクトルの平均だから、$\triangle DEF$ の重心の位置ベクトルは $\displaystyle \frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}$ であり、$\triangle ABC$ の重心と一致する。

(2) $D,E,F$ はそれぞれ辺の内点なので、$\triangle ABC$ は $\triangle DEF$ と3つの三角形 $AEF,BFD,CDE$ に分割される。$\triangle AEF$ と $\triangle ABC$ は頂点 $A$ の角を共有し、$AF=tAB,\ AE=(1-t)AC$ であるから $$\displaystyle \frac{[AEF]}{S}=\frac{AF}{AB}\frac{AE}{AC}=t(1-t).$$ 同様に、頂点 $B$ では $BF=(1-t)BA,\ BD=tBC$、頂点 $C$ では $CD=(1-t)CB,\ CE=tCA$ より $$\displaystyle \frac{[BFD]}{S}=\frac{[CDE]}{S}=t(1-t).$$ よって $$\displaystyle \frac{T}{S}=1-3t(1-t)=3t^2-3t+1 =3\left(t-\frac12\right)^2+\frac14.$$ $0<t<1$ の範囲に $\displaystyle t=\frac12$ が含まれるので、最小値は $\displaystyle \frac14$ である。

(3) $\angle BAC$ を $A$ とすると、余弦定理から $$\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC} =\frac{3^2+4^2-5^2}{2\cdot3\cdot4}=0,$$ したがって $A=90^\circ$ である。$AB,AC$ を座標軸にとり、$A=(0,0), B=(3,0), C=(0,4)$ とおく。内分の公式から $$D=(3(1-t),4t),\quad E=(0,4(1-t)),\quad F=(3t,0).$$ 各頂点で隣り合う2辺の内積が $0$ となることが、そこで直角となる条件である。まず $D$ について $$\overrightarrow{DE}=(-3(1-t),4(1-2t)),\quad \overrightarrow{DF}=(3(2t-1),-4t),$$ より $$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DF} =(1-2t)(9-25t).$$ したがって $D$ が直角となるのは $\displaystyle t=\frac12,\frac{9}{25}$ である。次に $E$ について $$\overrightarrow{ED}=(3(1-t),4(2t-1)),\quad \overrightarrow{EF}=(3t,-4(1-t)),$$ より $$\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EF}=(1-t)(16-23t).$$ $0<t<1$ だから、$E$ が直角となるのは $\displaystyle t=\frac{16}{23}$ である。最後に $F$ について $$\overrightarrow{FD}=(3(1-2t),4t),\quad \overrightarrow{FE}=(-3t,4(1-t)),$$ より $$\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{FE}=t(7+2t)>0$$ となり、$F$ が直角となる値はない。(2)より $\displaystyle T/S=3(t-\frac12)^2+\frac14>0$ なので $\triangle DEF$ は退化せず、以上の条件で直角三角形となる。求める値は $\displaystyle t=\frac{9}{25},\frac12,\frac{16}{23}$ であり、いずれも $0<t<1$ を満たす。