6千葉大学 2003年 数学 第6問解答・解説

$A$ を原点とし、各頂点の位置ベクトルを同じ大文字で表す。条件から $$B=\vec a,\quad C=\vec a+\vec b,\quad D=\vec a+\vec b+\vec c.$$ さらに $\overrightarrow{ED}=\vec a$ より $E=D-\vec a=\vec b+\vec c$、$\overrightarrow{FE}=\vec b$ より $F=E-\vec b=\vec c$ である。

(1) したがって $\overrightarrow{AF}=F-A=\vec c$。

(2) 三角形 $ACE$ の重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \frac{A+C+E}{3}=\frac{\vec a+2\vec b+\vec c}{3},$$ 三角形 $BDF$ の重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \frac{B+D+F}{3}=\frac{2\vec a+\vec b+2\vec c}{3}.$$ これらが一致する条件は $\vec b=\vec a+\vec c$ である。

(3) この関係と内積条件から $$\vec a\cdot\vec a=\vec a\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec c=5,\qquad \vec c\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec c=2.$$ $\vec a,\vec c$ が張る平行四辺形の面積を $P$ とすると、内積と三角比によって $$P=\sqrt{|\vec a|^2|\vec c|^2-(\vec a\cdot\vec c)^2} =\sqrt{5\cdot2-(-1)^2}=3.$$ 頂点は $A=0, B=\vec a, C=2\vec a+\vec c, D=2\vec a+2\vec c, E=\vec a+2\vec c, F=\vec c$ と表せる。凸性より対角線 $AC,AD,AE$ で分けた四三角形 $ABC,ACD,ADE,AEF$ は重なりなく $R$ を覆う。各三角形の底辺と高さを $\vec a,\vec c$ の方向に見れば、それぞれの面積は $P/2,P,P,P/2$ である。よって $$\displaystyle \operatorname{Area}(R)=\frac P2+P+P+\frac P2=3P=9.$$