3滋賀医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $|\alpha|=|\beta|=1$ より $\overline{\alpha}=1/\alpha$, $\overline{\beta}=1/\beta$ である。直線 $AB$ 上の点 $z$ は、ある実数 $t$ を用いて $$z=\alpha+t(\beta-\alpha)$$ と表せる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} z+\alpha\beta\overline{z} &=\alpha+t(\beta-\alpha) +\alpha\beta\left(\frac1\alpha+t\left(\frac1\beta-\frac1\alpha\right)\right)\\ &=\alpha+t(\beta-\alpha)+\beta+t(\alpha-\beta) =\alpha+\beta. \end{aligned}$$ よって示された。

(2) $s=\alpha+\beta$, $\kappa=\alpha\beta$ とおき、 $$\displaystyle g=\frac{s+w-\kappa\overline{w}}2$$ と定める。$\kappa\overline{s}=s$, $\kappa\overline{\kappa}=1$ だから $$\displaystyle g+\kappa\overline g =\frac{s+w-\kappa\overline w+\kappa\overline s+\kappa\overline w-w}{2} =s.$$ (1)より $g$ は直線 $AB$ 上にある。次に $q=g-w$, $d=\beta-\alpha$ とおくと、 $$\displaystyle \kappa\overline q=q,\qquad \kappa\overline d=\alpha\beta\left(\frac1\beta-\frac1\alpha\right)=-d.$$ よって $$\displaystyle \overline{\frac qd} =\frac{\overline q}{\overline d} =\frac{q/\kappa}{-d/\kappa} =-\frac qd.$$ したがって $q/d$ は純虚数であり、$g-w$ は直線 $AB$ の方向 $d$ と垂直である。ゆえに $g$ は $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足 $C'$ であり、 $$2\gamma'=2g=\alpha+\beta+w-\alpha\beta\overline{w}$$ を得る。

(3) $A',B',C'$ の複素数をそれぞれ $a',b',c'$ とする。(2)を各辺に適用すると $$\begin{aligned} 2(a'-b')&=(\beta-\alpha)(1-\gamma\overline w),\\ 2(b'-c')&=(\gamma-\beta)(1-\alpha\overline w). \end{aligned}$$ 仮定より $w\ne\alpha,\gamma$ であり、また $\alpha,\beta,\gamma$ は互いに異なる。したがって上の二つの差はともに $0$ でない。$A',B',C'$ が一直線上にあるので $$\displaystyle R=\frac{a'-b'}{b'-c'} =\frac{\beta-\alpha}{\gamma-\beta} \frac{1-\gamma\overline w}{1-\alpha\overline w}$$ は実数である。$|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1$ を用いると $$\displaystyle \overline{\frac{\beta-\alpha}{\gamma-\beta}} =\frac{\gamma}{\alpha}\frac{\beta-\alpha}{\gamma-\beta}, \qquad \overline{\frac{1-\gamma\overline w}{1-\alpha\overline w}} =\frac{\alpha}{\gamma}\frac{\gamma-w}{\alpha-w}.$$ ゆえに $$\displaystyle \overline R =\frac{\beta-\alpha}{\gamma-\beta}\frac{\gamma-w}{\alpha-w}.$$ $R=\overline R$ であり、各分母は $w\ne\alpha$ などから $0$ でないので、 $$(\gamma-w)(1-\alpha\overline w) =(\alpha-w)(1-\gamma\overline w).$$ 両辺を展開して共通項を消去すると $$(\gamma-\alpha)(1-|w|^2)=0.$$ $\gamma\ne\alpha$ より $|w|=1$。すなわち $P$ は単位円上にある。

なお、(1)は直線上の表示を代入して成立を確認し、(2)は得た点が直線上にあり、かつ垂線条件を満たすことを確認した。(3)では分母が零でないことを仮定から確かめてから同値な式変形を行っている。