2滋賀医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

PDF p1医学科前期、p2本問のp<0<q<a<bと等面積条件を確認。

$x<a$ では $(x-a)=-(a-x)$、$(x-b)=-(b-x)$ なので、曲線の高さは $$\displaystyle \frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{(a-x)(b-x)}>0$$ である。よって面積は対応する定積分で表せる。部分分数分解 $$\displaystyle \frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x-b}-\frac{1}{x-a}\right)$$ から、$x<a$ における原始関数を $$\displaystyle F(x)=\frac{1}{b-a}\log\frac{b-x}{a-x}$$ とおく。

(1) 面積の等しさより $$F(0)-F(p)=F(q)-F(0),\qquad 2F(0)=F(p)+F(q).$$ したがって対数の性質を用いて $$\displaystyle 2\log\frac ba=\log\frac{b-p}{a-p}+\log\frac{b-q}{a-q}, \qquad \left(\frac ba\right)^2=\frac{(b-p)(b-q)}{(a-p)(a-q)}.$$ 分母は正なので交差に掛けると $$b^2(a-p)(a-q)=a^2(b-p)(b-q).$$ 両辺の差を因数分解すれば $$(a-b)\{ab(p+q)-pq(a+b)\}=0.$$ a<b だから、$(p+q)ab=pq(a+b)$ を得る。

(2) (1)の等式を $p$ について整理すると $$p\{ab-q(a+b)\}=-abq.$$ $p<0$、$a,b,q>0$ より右辺は負である。したがって中括弧内は正であり、$ab-q(a+b)>0$、すなわち $$\displaystyle q<\frac{ab}{a+b}$$ となる。

(3) $\displaystyle q_0=\dfrac{ab}{a+b}$ とおくと、$0<q<q_0<a$ である。被積分関数は $0\le x\le q_0$ で正だから $$\displaystyle S=\int_0^q\frac{dx}{(a-x)(b-x)}<\int_0^{q_0}\frac{dx}{(a-x)(b-x)}.$$ ここで $\displaystyle a-q_0=\dfrac{a^2}{a+b}$、$\displaystyle b-q_0=\dfrac{b^2}{a+b}$ より $$\displaystyle \int_0^{q_0}\frac{dx}{(a-x)(b-x)}=F(q_0)-F(0) =\frac{1}{b-a}\log\left(\frac{a(b-q_0)}{b(a-q_0)}\right) =\frac{1}{b-a}\log\frac ba.$$ ゆえに $\displaystyle S<\dfrac{1}{b-a}\log\dfrac ba$ である。

(4) $b/a>1$ なので $$\displaystyle \log\frac ba=\int_1^{b/a}\frac{dt}{t}<\int_1^{b/a}dt=\frac ba-1=\frac{b-a}{a}.$$ (3)と合わせて $\displaystyle S<\dfrac{1}{b-a}\log\dfrac ba<\dfrac1a$ を得る。