5宮崎大学 2021年 数学 第5問解答・解説

次の各問に答えよ。

(1)（必答）次の空欄あ～しを適切な整数で埋めよ。 　 $3x^2+10xy+8y^2+8x+10y-3$ を因数分解すると，$$3x^2+10xy+8y^2+8x+10y-3=(x+ay+b)(3x+cy+d)$$となる。このとき，定数 $a,b,c,d$ の値は$$a=\square_{\text{あ}},\quad b=\square_{\text{い}},\quad c=\square_{\text{う}},\quad d=\square_{\text{え}}$$である。 　 これを用いて，等式$$3x^2+10xy+8y^2+8x+10y+9=0$$を満たす整数 $x,y$ の組 $(x,y)$ を求めると，そのような組 $(x,y)$ は4つあることがわかり，それらを $x$ の値が小さい方から順に並べると，$$(\square_{\text{お}},\square_{\text{か}}),\quad(\square_{\text{き}},\square_{\text{く}}),\quad(\square_{\text{け}},\square_{\text{こ}}),\quad(\square_{\text{さ}},\square_{\text{し}})$$となる。

(2) 15ページの[A]，16ページの[B]のいずれか一方を選択し，解答せよ。 　 [A]（選択） 次の空欄ア～エを適切な数で埋めよ。ただし，$i$ は虚数単位とする。複素数$$z_1=2+2\sqrt{3}i,\quad z_2=5+5\sqrt{3}i,\quad z_3=5-4\sqrt{3}+(4+5\sqrt{3})i$$および $\alpha=1+\sqrt{2}i$ に対し，$\alpha z_1,\alpha z_2,\alpha z_3$ で表される複素数平面上の点をそれぞれ $P_1,P_2,P_3$ とする。このとき，$\displaystyle \frac{z_3}{1+\sqrt{3}i}=x+yi\;(x,y\text{ は実数})$ となる $x,y$ の値は $x=\square_{\text{ア}},\ y=\square_{\text{イ}}$ である。また，$|\alpha|=\square_{\text{ウ}}$ である。さらに，$\triangle P_1P_2P_3$ の面積は $\square_{\text{エ}}$ である。 　 [B]（選択） 次の空欄カ～シを適切な数または数式で埋めよ。ただし，カは $x$ だけを用いて表された数式，キは $y$ だけを用いて表された数式，サとシは整数で埋めよ。また，$\log x$ は $x$ の自然対数を表す。曲線$$\displaystyle y=\log\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}\quad(x\geq2)$$の概形は右図のようになる。

このとき，$$\left(2e^y-x\right)^2=\square_{\text{カ} },\qquad x=\square_{\text{キ} }$$である。曲線 $\displaystyle y=\log\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}$ と $x$ 軸および直線 $x=4$ とで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $V$ とする。体積 $V$ は$$\displaystyle V=\int_2^4\square_{\text{ク}}\,dx$$により求めることができる。$\displaystyle \log\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}=t$ とおくと，$V$ は $t$ だけで表される数式 $f(t)=\square_{\text{ケ}}$ と $a=\log(2+\sqrt{3})$ を用いて，$$\displaystyle V=\int_0^a f(t)\,dt$$と表される。ここで，0でない定数 $k$ に対し，関数 $t^2e^{kt}$ の不定積分は$$\displaystyle \int t^2e^{kt}\,dt=\frac{e^{kt}}{k^3}\left(\square_{\text{コ}}\right)+C\quad(C\text{は積分定数})$$である。よって,$$V=4\pi\left(a^2-\sqrt{\square_{\text{サ}}}\,a+\square_{\text{シ}}\right)$$である。