1東京医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $$\displaystyle P(+)=0.4\cdot0.8+0.6\cdot0.3=0.5,\qquad P(\text{感染}\mid+)=\frac{0.4\cdot0.8}{0.5}=\frac{16}{25}.$$

(2)　 $\displaystyle\sum\limits _{k=1}^n k\binom nk=n2^{n-1}$。 $n=10$ では $5120$、$n=11$ では $11264$ なので最小は $n=11$。

(3)　 $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$ より、正の実数となるのは $n\equiv0\pmod8$。 正の3桁整数なら $104,112,\ldots,992$ の $112$ 個。負数も含めるなら合計 $224$ 個。

(4)　 $\log$ を自然対数とすると $$\displaystyle f(x)=(x+1)\log\left(1-\frac2{x+5}\right)\longrightarrow -2.$$

(1) $P(\text{陽性})=0.4\times0.8+0.6\times0.3=0.5$なので、$\displaystyle P(\text{感染}\mid\text{陽性})=\frac{0.4\times0.8}{0.5}=\frac{16}{25}$。(2) $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n} k\binom{n}{k}=n2^{n-1}$。$n=10$では$5120$、$n=11$では$11264$だから最小$n=11$。(3) $(1+i)^n=2^{n/2}e^{in\pi/4}$は$n$が8の倍数のとき正の実数。正の3桁整数では$104,112,\ldots,992$の$112$個。もし負の3桁整数も含めれば$-992,-984,\ldots,-104$の$112$個も加わる。(4) $\displaystyle f(x)=(x+1)\log\left(1-\frac{2}{x+5}\right)$。$\log$を自然対数とすれば $\displaystyle \frac{\log(1+u)}{u}\to1$ を用い、$\displaystyle (x+1)\left(-\frac{2}{x+5}\right)\to-2$。