2東京医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

全16枚のカードは個別に区別できるので、3枚の取り出し方は $$\displaystyle \binom{16}{3}=560$$ 通りである。

(1) 積 $M$ が素数になるには、3枚の数のうち2枚が $1$、残り1枚が素数でなければならない。$1$ のカードは2枚あり、素数 $2,3,5,7$ のカードは各2枚あるから、条件を満たす取り出し方は $\displaystyle \binom22\cdot4\cdot2=8$ 通り。したがって確率は $$\displaystyle \frac{8}{560}=\frac{1}{70}.$$ よって $\text{ア}=1,\text{イ}=7,\text{ウ}=0$。

(2) 4の倍数でない積を数える。積が4の倍数でないためには、3枚とも奇数か、奇数2枚と $2$ または $6$ のカード1枚でなければならない。奇数のカードは8枚、$2$ または $6$ のカードは4枚なので、その取り出し方は $$\displaystyle \binom83+\binom41\binom82=56+112=168$$ 通り。したがって積が4の倍数となる取り出し方は $560-168=392$ 通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{392}{560}=\frac{7}{10}.$$ よって $\text{エ}=7,\text{オ}=1,\text{カ}=0$。

(3) まず $8\mid M$ となる取り出し方を数える。少なくとも1枚の8のカードを含むものは $$\displaystyle \binom{16}{3}-\binom{14}{3}=196$$ 通りである。8を含まずに積が8の倍数となるには、次のいずれかである。4のカード2枚と残り1枚を選ぶ場合は12通り、4のカードを1枚選び、残り2枚に $2$ または $6$ のカードを少なくとも1枚含む場合は $$\displaystyle \binom21\left(\binom{12}{2}-\binom82\right)=76$$ 通り、4を含まず $2,6$ のカード4枚から3枚選ぶ場合は $\displaystyle \binom43=4$ 通り。よって条件 $8\mid M$ の取り出し方は合計 $$196+12+76+4=288$$ 通りである。

このうち $S\ge M$ となるのは、数の組が $(1,1,8)$ の場合だけである。実際、8を含む組 $(x,y,8)$ では、$(x,y)=(1,1)$ を除けば $8xy>x+y+8$。8を含まず4を含む組では、4のカード2枚を選ぶと積は少なくとも16、和は最大15であり、4を1枚だけ選ぶと残りの積 $xy$ は偶数だから $4xy>x+y+4$ である。8も4も含まない場合、積が8の倍数となるには3枚とも $2$ または $6$ であり、重複は各数2枚までなので組は $(2,2,6)$ または $(2,6,6)$ となり、いずれも和は積より小さい。組 $(1,1,8)$ のカードの選び方は $\displaystyle \binom22\binom21=2$ 通りだから、$S<M$ となるのは $288-2=286$ 通り。 $$\displaystyle \frac{286}{288}=\frac{143}{144}$$ より、$\text{キ}=1,\text{ク}=4,\text{ケ}=3,\text{コ}=1,\text{サ}=4,\text{シ}=4$。