宮崎大学／2021年度／前期

宮崎大学 2021年数学第4問解答・解説

場合の数と確率数列

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1問題

宮崎大学2021年度第4問

$A,B,C,D$ の4人がそれぞれ袋を持っている。

$A$ の袋には，3枚の札 $B,C,D$ が入っている。

$B$ の袋には，3枚の札 $A,C,D$ が入っている。

$C$ の袋には，2枚の札 $A,B$ が入っている。

$D$ の袋には，2枚の札 $A,B$ が入っている。

この4人の間で，1個の玉の受け渡しを次のように行う。

(※) はじめに， $A$ が玉を持っている。

$A$ は自分の袋から無作為に1枚の札を取り出し，その札に書かれた人へ玉を手渡し，取り出した札を自分の袋へもどす。以降，「玉を手渡された人は自分の袋から無作為に1枚の札を取り出し，その札に書かれた人へ玉を手渡し，取り出した札を自分の袋へもどす」ことをくり返す。ただし， $A$ が袋から札を取り出すとき，どの札も同じ確率で取り出されるものとする。 $B,C,D$ が袋から札を取り出すときも同様とする。

(※) の状態から始めて，玉の受け渡しが $n$ 回 $(n\geq1)$ 行われたとき， $A,B,C,D$ が玉を持っている確率をそれぞれ $A_n,B_n,C_n,D_n$ とする。また，(※)の状態において， $A,B,C,D$ が玉を持っている確率をそれぞれ $A_0,B_0,C_0,D_0$ とする。すなわち $A_0=1,\ B_0=0,\ C_0=0,\ D_0=0$ である。このとき，次の各問に答えよ。なお，すべての $n$ について $C_n=D_n$ であることは，用いてよい。

(1) $A_1,B_1,C_1,A_2,B_2,C_2$ を求めよ。

(2) $n$ が自然数のとき， $A_n$ を $B_{n-1}$ と $C_{n-1}$ を用いて表せ。また， $B_n$ を $C_{n-1}$ と $A_{n-1}$ を用いて表せ。さらに， $C_n$ を $A_{n-1}$ と $B_{n-1}$ を用いて表せ。

(3) $n$ が0または正の整数のとき， $A_n$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}A_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad A_1=0\quad$ , $\quad B_1=C_1=1/3\quad$ ; $\quad A_2=4/9\quad$ , $\quad B_2=1/3\quad$ , $\quad C_2=1/9\quad$ . (2) $\quad A_n=B_{n-1}/3+C_{n-1}\quad$ , $\quad B_n=A_{n-1}/3+C_{n-1}\quad$ , $\quad C_n=(A_{n-1}+B_{n-1})/3\quad$ . (3) $\quad A_n=3/10+(1/5)(-2/3)^n+(1/2)(-1/3)^n\quad$ for $\quad n=0,1,2,\ldots\quad$ . (4) $\displaystyle \quad \lim\limits _{n\to\infty}A_n=3/10\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 1回目はAからB,C,Dへそれぞれ確率1/3で移るので $A_1=0$ 、 $B_1=C_1=D_1=1/3$ 。2回目は $\displaystyle A_2=\frac13B_1+\frac12C_1+\frac12D_1=\frac49,\quad B_2=\frac13A_1+\frac12C_1+\frac12D_1=\frac13,$ $\displaystyle C_2=\frac13(A_1+B_1)=\frac19.$

(2) 各人からの遷移確率を足し、 $C_{n-1}=D_{n-1}$ を用いると $\displaystyle A_n=\frac13B_{n-1}+C_{n-1},\quad B_n=\frac13A_{n-1}+C_{n-1},\quad C_n=\frac13(A_{n-1}+B_{n-1}).$

(3) $S_n=A_n+B_n$ 、 $\Delta_n=A_n-B_n$ とおく。確率の総和より $S_n+2C_n=1$ で、(2)から $C_n=S_{n-1}/3$ 。よって $\displaystyle S_n=1-\frac23S_{n-1},\qquad S_0=1,$ したがって $\displaystyle S_n=\frac35+\frac25(-\frac23)^n$ 。また(2)の差をとると $\displaystyle \Delta_n=-\frac13\Delta_{n-1},\qquad \Delta_0=1,$ なので $\displaystyle \Delta_n=(-\frac13)^n$ 。ここから $\displaystyle A_n=\frac{S_n+\Delta_n}{2}=\frac3{10}+\frac15(-\frac23)^n+\frac12(-\frac13)^n.$

(4) 2つの等比項は $n\to\infty$ で0に収束するので $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}A_n=\frac3{10}.$

玉の位置に応じた遷移確率を立てる。対称性 $C_n=D_n$ を使って $A_n,B_n,C_n$ の漸化式を得る。 $S_n=A_n+B_n$ と $\Delta_n=A_n-B_n$ に分けると、それぞれ公比 $-2/3$ と $-1/3$ の一次漸化式に帰着する。初期値から $A_n$ の式を求め、等比項の極限から $3/10$ を得る。

この問題で使う考え方

状態遷移確率の整理
対称性の利用
和と差による漸化式の分離

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