3浜松医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $n$ 段目までの登り方を、$n-1$ 段目を踏むものと踏まないものに分ける。$n-1$ 段目を踏む場合、$n-1$ 段目までの各登り方に最後の1段を加えると、ちょうど $n$ 段目までの登り方が得られる。したがって $$b_n=a_{n-1}.$$ 一方、$n-1$ 段目を踏まない場合、最後は $n-2$ 段目から2段上がるほかない。よって $$c_n=a_{n-2}.$$ この二つの場合は重ならず、すべての登り方を尽くすので、$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（$n\geq 3$）である。

(2) $n\geq 2$ では、漸化式より $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_n}.$$ 各 $a_n$ は正であり、$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}>a_{n-1}$（$n\geq 3$）だから、比は正で、極限 $L$ は正である。問題文の仮定のもとで、$a_{n+1}/a_n\to L$ かつ $a_n/a_{n-1}\to L$ であるから、上式の極限をとると $$\displaystyle L=1+\frac{1}{L}.$$ したがって $L^2-L-1=0$。$L>0$ より $$\displaystyle L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

(3) $E_n=a_{2n}$、$S_n=a_n^2+a_{n-1}^2$ とおく。まず、$m\geq 4$ では漸化式から $$a_{m+2}=a_{m+1}+a_m=2a_m+a_{m-1}=3a_m-a_{m-2}.$$ したがって $n\geq 2$ で $$E_{n+1}=3E_n-E_{n-1}.$$ また $n\geq 3$ では $$\begin{aligned} 3S_n-S_{n-1}-S_{n+1} &=3(a_n^2+a_{n-1}^2)-(a_{n-1}^2+a_{n-2}^2) -\bigl((a_n+a_{n-1})^2+a_n^2\bigr)\\ &=(a_n-a_{n-1})^2-a_{n-2}^2=0, \end{aligned}$$ ここで $a_n-a_{n-1}=a_{n-2}$ を用いた。よって $S_{n+1}=3S_n-S_{n-1}$ であり、$E_n$ と $S_n$ は $n\geq 3$ で同じ漸化式を満たす。初めの二つの値は $$E_2=a_4=5=2^2+1^2=S_2,\qquad E_3=a_6=13=3^2+2^2=S_3.$$ 二つの数列は同じ二階漸化式を満たし、初めの二項が一致するから、すべての $n\geq 2$ で $E_n=S_n$。したがって $$a_{2n}=a_n^2+a_{n-1}^2$$ が成立する。