4浜松医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) x>1 とし、$\displaystyle u=\frac{f(x)}{x}$ とおく。u>0 であり、u^n=$\displaystyle \left(1-\frac1x\right)^k$ だから $u\to1\quad(x\to\infty)$ である。f(x)-ax が収束するなら、これを x で割った極限は 0 となるので、$\displaystyle \frac{f(x)}x-a\to0$ である。したがって a=1 でなければならない。 このとき、差の積の公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)-x&=x(u-1)\\ &=\frac{x(u^n-1)}{1+u+\cdots+u^{n-1}}\\ &=-\frac{1+\left(1-\frac1x\right)+\cdots+\left(1-\frac1x\right)^{k-1}}{1+u+\cdots+u^{n-1}}\longrightarrow-\frac{k}{n}. \end{aligned}$$ よって a=1 のときの極限値は -$\displaystyle \frac{k}{n}$ である。

(2) n は奇数なので、実数の n 乗根は被開平数と同じ符号をもつ。x<0 では x^{n-k}(x-1)^k<0 であり、0<x<1 ではその符号は (-1)^k である。f(0)=0 だから、k が奇数なら原点の左右で f(x)<0 となり原点は局所最大点である。k が偶数なら原点の左で f(x)<0、右で f(x)>0 となるため極値をもたない。よって条件は k が奇数である。

以下 k を奇数とする。$x\ne0,1$ では両辺を微分して $$\displaystyle \begin{aligned} nf(x)^{n-1}f'(x)&=\frac{d}{dx}\{x^{n-k}(x-1)^k\},\\ f'(x)&=\frac{f(x)\{nx-(n-k)\}}{n x(x-1)}. \end{aligned}$$ 符号を調べると、f'(x)>0 は x<0、$\displaystyle x>\frac{n-k}{n},\quad x\ne1$ で成り立ち、f'(x)<0 は $\displaystyle 0<x<\frac{n-k}{n}$ で成り立つ。したがって $\displaystyle 0<x<\frac{n-k}{n}$ で減少し、$\displaystyle \frac{n-k}{n}<x<1$ および $x>1$ で増加する。局所最小点の x 座標は c=$\displaystyle \frac{n-k}{n}$ であり、 $$\displaystyle f(c)=\sqrt[n]{\left(\frac{n-k}{n}\right)^{n-k}\left(-\frac{k}{n}\right)^k}=-\frac{\sqrt[n]{(n-k)^{n-k}k^k}}{n}.$$ また f(1)=0 で、x=1 の左右で負から正へ移る。x=0 では左右の傾きがそれぞれ +$\infty$,-$\infty$ となる尖った局所最大、x=1 では左右の傾きが +$\infty$ となる垂直接線である。

斜漸近線も確認する。x<0 または x>1 で u=f(x)/x>0 とおけば、同様に u^n=(1-1/x)^k である。先ほどと同じ差の積の計算により $\displaystyle f(x)-x\to-\frac{k}{n}\quad(x\to\pm\infty)$ となる。以上より、グラフは左下から増加して原点で局所最大となり、局所最小点を経た後、(1,0) を垂直接線で通って右上へ増加する。両端で斜漸近線 y=x-$\displaystyle \frac{k}{n}$ に近づく。