3北里大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) 接線の傾きは$f'(t)=5t^4-6t^2+9$である。これは$5(t^2-3/5)^2+36/5>0$なので、接線はすべての実数$t$で定まる。接線の式$y=f(t)+f'(t)(x-t)$に$y=0$を代入すると、$$\displaystyle g(t)=t-\frac{f(t)}{f'(t)}=\frac{t(5t^4-6t^2+9)-(t^5-2t^3+9t)}{5t^4-6t^2+9}=\frac{4t^3(t^2-1)}{5t^4-6t^2+9}.$$

(2) 正の$t$について$$\displaystyle h(t)=\frac{g(t)}t=\frac{4t^2(t^2-1)}{5t^4-6t^2+9}.$$ここで$u=t^2>0$と置くと$$\displaystyle h'(t)=2t\frac{-4(u^2-18u+9)}{(5u^2-6u+9)^2}.$$分母は正であり、$h'(t)=0$となるのは$u^2-18u+9=0$、すなわち$u=9\pm6\sqrt2=(\sqrt6\pm\sqrt3)^2$のときである。したがって$t=\sqrt6-\sqrt3,\ \sqrt6+\sqrt3$。

(3) 上の$u$を用いた式の分子を微分して商の微分を行うと$$\displaystyle \frac{d}{du}\left(\frac{4u(u-1)}{5u^2-6u+9}\right)=\frac{-4(u^2-18u+9)}{(5u^2-6u+9)^2}.$$よって$u_-=9-6\sqrt2$、$u_+=9+6\sqrt2$とすると、$h$は$0<u<u_-$で減少し、$u_-<u<u_+$で増加し、$u>u_+$で減少する。臨界点では、$u^2=18u-9$を用いて$$\displaystyle h=\frac{17u-9}{3(7u-3)},\quad h(\sqrt{u_-})=\frac{1-\sqrt2}{3},\quad h(\sqrt{u_+})=\frac{1+\sqrt2}{3}.$$また$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}h(t)=0$、$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}h(t)=4/5$。ここで$(1+\sqrt2)/3>4/5$（$5\sqrt2>7$）かつ$(1+\sqrt2)/3>(\sqrt2-1)/3$だから、正の$t$における$|h(t)|$の最大値は$(1+\sqrt2)/3$であり、これは$t=\sqrt6+\sqrt3$で実際に達成される。したがって、条件を満たす$p$の最小値も$(1+\sqrt2)/3$である。

(4) $x\ne0$なら$g(x)=x h(|x|)$であり、(3)より$|h(|x|)|\leq p$。また$g(0)=0$だから、全実数$x$について$|g(x)|\leq p|x|$である。ここで$0<p=(1+\sqrt2)/3<1$なので、漸化式により帰納的に$|a_n|\leq p^{n-1}|a|$を得る。$0<p<1$より右辺は$n\to\infty$で0に収束するため、$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=0$。