2福島県立医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

接線の式から数列の漸化式を求める。$f'(x)=3x^2-6$ であるから、$C$ 上の点$(t,f(t))$における接線は$$y=f(t)+f'(t)(x-t)=(3t^2-6)x-2t^3$$である。これと$y=3x$との交点の$x$座標は、$3t^2-9>0$より$$\displaystyle x=\frac{2t^3}{3(t^2-3)}$$となる。したがって$n\geq1$で$$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2a_n^3}{3(a_n^2-3)}.\tag{1}$$ (1)　$a>\sqrt3$なので$3(a^2-3)>0$であり、(1)から$$\displaystyle a_2-3=\frac{2a^3-9a^2+27}{3(a^2-3)}=\frac{(a-3)^2(2a+3)}{3(a^2-3)}\geq0.$$よって$a_2\geq3$。 (2)　$x>\sqrt3$では$x^2-3>0$であり、$$\displaystyle g(x)=\frac{(2x+3)(x-3)}{3(x^2-3)}=\frac23-\frac{x+1}{x^2-3}.$$また$$\displaystyle g'(x)=\frac{x^2+2x+3}{(x^2-3)^2}>0$$だから、$g$ は$x>\sqrt3$の範囲で単調増加する。分子の因数分解から$g(3)=0$であり、$$\displaystyle \lim\limits _{x\to\sqrt3+}g(x)=-\infty,\qquad \lim\limits _{x\to\infty}g(x)=\frac23.$$さらに$\displaystyle g(x)=\frac23-\frac{x+1}{x^2-3}<\frac23$である。したがってグラフは$x=3$で$x$軸と交わり、$x=\sqrt3$の右側から増加して$\displaystyle y=\frac23$に下から近づく。漸近線は$x=\sqrt3$および$\displaystyle y=\frac23$。 (3)　$x>\sqrt3$について(1)の式を変形すると$$\displaystyle \frac{2x^3}{3(x^2-3)}-3=(x-3)\frac{2x^2-3x-9}{3x^2-9}=(x-3)g(x).\tag{2}$$まず$a_2\geq3$である。$a_n\geq3$なら、$g(a_n)\geq0$なので(2)より$a_{n+1}\geq3$。よってすべての$n\geq2$で$a_n\geq3$。また$x\geq3$では$\displaystyle 0\leq g(x)<\frac23$であるから、(2)に$x=a_n$を代入して$$\displaystyle 0\leq a_{n+1}-3=(a_n-3)g(a_n)\leq\frac23(a_n-3)\qquad(n\geq2).$$ (4)　 (3)を繰り返し用いると、$n\geq2$で$$\displaystyle 0\leq a_n-3\leq\left(\frac23\right)^{n-2}(a_2-3).$$ここで$a_2-3$は有限であり、$\displaystyle 0<\frac23<1$だから右辺は$n\to\infty$で$0$に収束する。はさみうちの原理より$a_n-3\to0$、したがって$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=3.$$

定義域は$x>\sqrt3$。実線がgのグラフ、破線2本が漸近線である。左端では下方へ限りなく続き、右では$\displaystyle y=\frac23$に下側から近づく。