3福島県立医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) $b=OB$ とおき，$OP$ を $x$ 軸，$O=(0,0), P=(2,0)$ とする。$OA=\sqrt2 b$ であり，$A$ は $x$ 軸の上側，$B$ は下側にあるから $$\displaystyle A=(b,b),\qquad B=\left(\frac b2,-\frac{\sqrt3 b}{2}\right).$$ $P$ は線分 $AB$ 上にあるので，高さから $$\displaystyle AP:PB=b:\frac{\sqrt3 b}{2}=2:\sqrt3.$$ したがって内分点の公式より $$\displaystyle P=\frac{\sqrt3 A+2B}{2+\sqrt3} =\left(\frac{b(\sqrt3+1)}{2+\sqrt3},0\right).$$ $P=(2,0)$ を用いると $$\displaystyle b=\frac{2(2+\sqrt3)}{1+\sqrt3}=1+\sqrt3.$$ よって $OB=1+\sqrt3$。

(2) 余弦定理より $$\begin{aligned} AP^2&=OA^2+OP^2-2\cdot OA\cdot OP\cos45^\circ =2b^2+4-4b=8,\\ BP^2&=OB^2+OP^2-2\cdot OB\cdot OP\cos60^\circ =b^2+4-2b=6. \end{aligned}$$ よって $AP=2\sqrt2,\ BP=\sqrt6$。正弦定理を用いると $$\displaystyle R_1=\frac{AP}{2\sin45^\circ}=2,\qquad R_2=\frac{BP}{2\sin60^\circ}=\sqrt2.$$

(3) $OP$ の中点を原点とし，$OP$ を横軸とする。二つの円の中心は $OP$ の垂直二等分線上にあるので，それぞれ $C_1=(0,c), C_2=(0,d)$ とおける。半径から $$1+c^2=R_1^2=4,\qquad 1+d^2=R_2^2=2$$ となり，$c=\pm\sqrt3,\ d=\pm1$ である。頂点 $A=(b-1,b)=(\sqrt3,1+\sqrt3)$ は $C_1=(0,\sqrt3)$ からの距離が $2$ なので，こちらが $C_1$ の中心である。また $\displaystyle B=(\frac{b}{2}-1,-\frac{\sqrt3 b}{2})=(\frac{\sqrt3-1}{2},-\frac{\sqrt3(1+\sqrt3)}2)$ について $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)^2+ \left(1-\frac{\sqrt3(1+\sqrt3)}2\right)^2 =\frac{(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2}{4}=2$$ だから，$C_2=(0,-1)$ である。中心は共通弦 $OP$ の反対側にあるため，共通部分は各円の中心と反対側にある二つの小弓形からなる。 共通弦の長さを $2$，それぞれが張る中心角を $\theta_1,\theta_2$ とすると $$\displaystyle 2=2R_1\sin\frac{\theta_1}{2},\qquad 2=2R_2\sin\frac{\theta_2}{2},$$ ゆえに $\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{3},\ \theta_2=\frac{\pi}{2}$。半径 $R$，中心角 $\theta$ の弓形の面積は，扇形から二等辺三角形を引いて $\displaystyle \frac{R^2}{2}(\theta-\sin\theta)$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac{2^2}{2}\left(\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\right) +\frac{(\sqrt2)^2}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\right)\\ &=\frac{7\pi}{6}-\sqrt3-1. \end{aligned}$$

(4) 今度は $OP$ の中点を原点とし，$OP$ を $t$ 軸とする。円の中心は $(0,\sqrt3),(0,-1)$ であるから，二つの内部は $$t^2+(y-\sqrt3)^2\le4,\qquad t^2+(y+1)^2\le2$$ で表される。縦断面が共通部分をもつ条件は $$\sqrt{4-t^2}+\sqrt{2-t^2}\ge\sqrt3+1$$ であり，左辺は $t^2$ とともに減少して，等号は $t^2=1$ のとき成り立つ。よって共通部分は $-1\le t\le1$ の範囲にある。この範囲の縦断面は $$L(t)\le y\le U(t),\qquad L(t)=\sqrt3-\sqrt{4-t^2},\quad U(t)=\sqrt{2-t^2}-1.$$ ここで $L(t)\le0\le U(t)$。さらに $q=t^2\ (0\leq q\leq1)$ とすると $$\displaystyle \sqrt{4-q}-\sqrt{2-q} =\frac{2}{\sqrt{4-q}+\sqrt{2-q}} \le\frac{2}{\sqrt3+1}=\sqrt3-1,$$ したがって $U(t)+L(t)\ge0$，すなわち $U(t)\ge-L(t)$ である。縦断面は回転軸 $OP$ を含み，回転後の断面は半径 $U(t)$ の円板となる。円板法により $$\displaystyle V=\pi\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{2-t^2}-1\right)^2dt =\pi\left\{\frac{16}{3}-2J\right\},\qquad J=\int_{-1}^{1}\sqrt{2-t^2}\,dt.$$ $J$ で $t=\sqrt2\sin\phi$ とおくと，$\displaystyle -\frac{\pi}{4}\le\phi\le\frac{\pi}{4}$ であり， $$\displaystyle J=2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2\phi\,d\phi =\left[\phi+\frac12\sin2\phi\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} =1+\frac{\pi}{2}.$$ ゆえに $$\displaystyle V=\pi\left(\frac{16}{3}-2-\pi\right) =\frac{10\pi}{3}-\pi^2.$$

辺の長さを座標と内分点から求め、正弦定理で半径を決める。面積は弓形の和、体積は回転後の断面半径の大小を確認して積分する。