3秋田大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(i) 点 $P$ と各辺が作る三つの三角形の面積を加えると $$\displaystyle R=\frac12as+\frac12bt+\frac12cu,$$ したがって $as+bt+cu=2R$ である。$s,t,u$ から定める三つの面積比 $$\displaystyle \alpha=\frac{as}{2R},\qquad \beta=\frac{bt}{2R},\qquad \gamma=\frac{cu}{2R}$$ は非負で和が $1$ になる。逆向きも確かめる。$\alpha,\beta,\gamma\ge0$、和1とする。$\alpha<1$ なら $BC$ 上に $D=(\beta B+\gamma C)/(\beta+\gamma)$ を内分点としてとり、$AD$ 上に $P=\alpha A+(1-\alpha)D$ をとれば三角形内にある。$\alpha=1$ なら $P=A$ とする。各辺の直線の式を三角形内部で左辺が非負となる向きにとると、距離はその一次式を一定の正数で割ったものだから、$P$ からBCへの距離は $\alpha$ 倍のAからBCへの高さとなる。他の二辺も同様で、面積比は正確に $\alpha,\beta,\gamma$ となる。 そこで $u=(2R-as-bt)/c$ と消去すると $$s\ge0,\qquad t\ge0,\qquad as+bt\le2R.$$ よって $(s,t)$ の範囲は頂点 $(0,0)$、$(2R/a,0)$、$(0,2R/b)$ をもつ閉三角形である。

(ii) $a=BC=5,\ b=CA=\sqrt{10},\ c=AB=5$ で、$\displaystyle R=\frac12\cdot5\cdot3=\frac{15}{2}$。各距離の最大値はそれぞれ対応する高さなので $$\displaystyle s_0=\frac{2R}{a}=3,\qquad t_0=\frac{2R}{b}=\frac{15}{\sqrt{10}},\qquad u_0=\frac{2R}{c}=3.$$ 比が共通の値 $\lambda$ とすると、三角形の面積分解から $$2R=as+bt+cu =\lambda(as_0+bt_0+cu_0)=6R\lambda,$$ ゆえに $\displaystyle \lambda=\frac13$。これらの比はそれぞれ面積比 $[PBC]/R,\ [PCA]/R,\ [PAB]/R$ であるため、三つの小三角形の面積が等しく、$P$ は三角形の重心である。よって $$\displaystyle P=\frac{A+B+C}{3}=(3,1).$$

(iii) 図の矢印の向きに転がると、接点は順に $C,A',B''$ となる。$\theta=\angle C$ とおくと、座標から $\tan\theta=3$、また $AB=BC$ より $\angle A=\theta$。したがって三つの時計回りの回転角は順に $\pi-\theta,\ \pi-\theta,\ 2\theta$ で、合計は $2\pi$ である。$P$ は重心なので $$CP=AP=\sqrt5,\qquad BP=\sqrt{10}.$$ $\alpha=\arctan(1/2)=\theta-\pi/4$ とおく。初期相対ベクトルは $\overrightarrow{CP}=(-2,1)$、$\overrightarrow{AP}=(-1,-2)$、$\overrightarrow{BP}=(3,1)$ である。$\theta=\arctan3$ なので $\arctan2+\theta=3\pi/4$、また $\arctan(1/3)=\pi/2-\theta$ である。図の順に時計回りに回すと、各支点から見た $\overrightarrow{VP}$ の方向角は $$\displaystyle C:\ \pi-\alpha\longrightarrow\frac{\pi}{4},\qquad A':\ \frac{3\pi}{4}\longrightarrow\alpha,\qquad B'':\ \frac{\pi}{2}+\theta\longrightarrow\frac{\pi}{2}-\theta.$$ 各方向角は $(0,\pi)$ 内で時計回りに減少しながら $\pi/2$ を通るので、$P$ の高さ $r\sin\varphi$ はそこで最大となる。$PQ$ は水平だから $Q$ の $y$ 座標は常に $P$ と同じである。各円弧の始点・終点・最大値は $$\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{接点}&\text{半径}&\text{始点の高さ}&\text{終点の高さ}&\text{最大高さ}\\ \hline C&\sqrt5&1&\sqrt{5/2}&\sqrt5\\ A'&\sqrt5&\sqrt{5/2}&1&\sqrt5\\ B''&\sqrt{10}&1&1&\sqrt{10} \end{array}$$ となる。したがって、 $$\begin{aligned} L_Q &=2\left((\sqrt5-1)+(\sqrt5-\sqrt{5/2})\right) +2(\sqrt{10}-1)\\ &=4\sqrt5+\sqrt{10}-4. \end{aligned}$$

(i)の領域図：region.svg。三辺を含む閉三角形です。