II鳥取大学 2002年 数学 第II問解答・解説

座標を $A=(0,0,0), B=(1,0,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1)$ とする。 (1) 平面 $BDE$ の方程式は $x+y+z=1$。法線方向 $(1,1,1)$ は $\overrightarrow{AG}$ の方向でもあるので、$AG\perp BDE$。 (2) $P$ は $AG$ 上にあるから $P=(t,t,t)$ と書ける。平面の式から $3t=1$ より $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3},\qquad |AP|=\frac1{\sqrt3}.$$ (3) 内分比より $$\displaystyle Q=(\frac23,\frac13,0),\quad R=(0,\frac23,\frac13),\quad S=(\frac13,0,\frac23).$$ 3点は平面 $x+y+z=1$ 上にあり、例えば $$\displaystyle |QR|=\sqrt{(\frac23)^2+(\frac13)^2+(\frac13)^2}=\frac{\sqrt6}{3}.$$ 同様に $\displaystyle |RS|=|SQ|=\frac{\sqrt6}{3}$ なので $QRS$ は正三角形であり、底面積は $$\displaystyle [QRS]=\frac{\sqrt3}{4}(\frac{\sqrt6}{3})^2=\frac{\sqrt3}{6}.$$ 点 $A$ から平面 $x+y+z=1$ への垂線の足は $\displaystyle (\frac13,\frac13,\frac13)$ だから、高さは $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$。よって体積は $$\displaystyle \frac13[QRS]\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac1{18}.$$

一辺1の立方体ではa,b,cは互いに垂直な単位ベクトルである。Aを原点とする座標でB=(1,0,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1)だから、平面BDEの方程式はx+y+z=1で、法線方向は(1,1,1)。対角線AGの方向ベクトルも(1,1,1)なので、AGは平面BDEに垂直。 PはAG上にあるためAP=t(a+b+c)と書ける。平面の条件を使うと3t=1であり、長さは各ベクトルが直交単位ベクトルであることから√3/3。 内分点はBQ:QD=DR:RE=ES:SB=1:2より、Q=(2a+b)/3, R=(2b+c)/3, S=(2c+a)/3。Q,R,Sの座標の各成分和は1なので、三点は平面x+y+z=1上にある。また、例えばQR=(−2/3,1/3,1/3)で|QR|=√6/3となり、同様にRS=SQ=√6/3。よってQRSは一辺√6/3の正三角形で、底面積は(√3/4)(√6/3)^2=√3/6。Aから平面x+y+z=1までの距離は、垂線の足が(1/3,1/3,1/3)となることから√3/3=1/√3。したがって体積は底面積×高さ÷3=(√3/6)(1/√3)/3=1/18。