IV鳥取大学 2002年 数学 第IV問解答・解説

(1) 条件から $$\displaystyle \alpha=3-\frac{7-\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2},\qquad \beta=\alpha-\sqrt5=-\frac{\sqrt5+1}{2}.$$ したがって $$\alpha+\beta=-1,\qquad \alpha\beta=-1.$$ 三つの異なるx切片から $$y=a(x-3)(x-\alpha)(x-\beta)$$ と表せる。定数項を比較すると $$-3a\alpha\beta=3$$ なので、$\alpha\beta=-1$より$a=1$。また $$(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=x^2+x-1,$$ したがって $$y=(x-3)(x^2+x-1)=x^3-2x^2-4x+3.$$ ゆえに$b=-2,\ c=-4$。

(2) $\displaystyle t=x+\frac12$とおくと、$x=\beta,\alpha$はそれぞれ$\displaystyle t=-\frac{\sqrt5}{2},\frac{\sqrt5}{2}$に移る。また $$\displaystyle y=(x-3)(x^2+x-1)=\left(t-\frac72\right)\left(t^2-\frac54\right).$$ 区間$\beta\le x\le\alpha$では$x-3<0$、$x-\alpha\le0$、$x-\beta\ge0$だから$y\ge0$。求める面積は曲線の定積分であり、$t$の奇関数部分は対称区間で積分すると0になる。$\displaystyle r=\frac{\sqrt5}{2}$とおけば $$\displaystyle S=-\frac72\int_{-r}^{r}\left(t^2-\frac54\right)\,dt =-\frac72\left[\frac{t^3}{3}-\frac{5t}{4}\right]_{-r}^{r}.$$ 端点での値は $$\displaystyle \left[\frac{t^3}{3}-\frac{5t}{4}\right]_{-r}^{r} =\frac{2r^3}{3}-\frac{5r}{2}=-\frac{5\sqrt5}{6},$$ よって$\displaystyle S=\frac{35\sqrt5}{12}$。

(1) 根の差条件から$\alpha,\beta$を出し、根の和・積と定数項比較で係数を決める。(2) 区間の中点を原点に移し、対称区間で奇関数部分が消えることを使って定積分を計算した。