I鳥取大学 2002年 数学 第I問解答・解説

(1) 余弦定理より $$\displaystyle 4^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos A, \qquad \cos A=\frac34.$$ $0<A<\pi$ なので $$\displaystyle \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\frac{\sqrt7}{4}.$$ したがって $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot5\cdot6\sin A=\boxed{\frac{15\sqrt7}{4}}.$$

(2) $\displaystyle x=\frac{AP}{AB}$、$\displaystyle y=\frac{AQ}{AC}$ とおく。$0\le x,y\le1$ であり、面積公式と共通の角$A$から、$\displaystyle [APQ]=\frac12(AP)(AQ)\sin A=xy[ABC]$。線分 $PQ$ が三角形の面積を二等分する条件は $\displaystyle xy=\frac12$ である。よって $$\displaystyle \frac12\le x\le1,\qquad y=\frac1{2x}.$$ 三角形 $APQ$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} PQ^2&=(5x)^2+(6y)^2-2(5x)(6y)\cos A\\ &=25x^2+36y^2-45xy =25x^2+\frac9{x^2}-\frac{45}{2}. \end{aligned}$$ ここで $t=x^2$ とおけば $\displaystyle \frac14\le t\le1$ である。

相加相乗平均より $$\displaystyle 25t+\frac9t\ge2\sqrt{25t\cdot\frac9t}=30,$$ 等号は $\displaystyle t=\frac35$ で成立し、この値は許容範囲内にある。したがって $$\displaystyle PQ^2\ge30-\frac{45}{2}=\frac{15}{2}, \qquad PQ_{\min}=\boxed{\frac{\sqrt{30}}2}.$$

最大値については、$\displaystyle \frac14\le t\le1<\frac{36}{25}$ より $$\displaystyle \frac{169}{4}-\left(25t+\frac9t\right) =-\frac{100\left(t-\frac14\right)\left(t-\frac{36}{25}\right)}{4t}\ge0.$$ よって $\displaystyle PQ^2\le\frac{169}{4}-\frac{45}{2}=\frac{79}{4}$。等号は $\displaystyle t=\frac14$、すなわち $\displaystyle x=\frac12,y=1$ で実現する。したがって $$\displaystyle PQ_{\max}=\boxed{\frac{\sqrt{79}}2}.$$ 答えは、(1) $\displaystyle \frac{15\sqrt7}{4}$、(2) 最小値 $\displaystyle \frac{\sqrt{30}}2$、最大値 $\displaystyle \frac{\sqrt{79}}2$ である。