2京都大学 2002年 数学 第2問解答・解説

(1) $a=BC,b=CA,c=AB$ とおく。半径1の円の弦だから各辺は2以下。 対偶を示す。例えば $\angle A\ge90^\circ$ なら余弦定理より $a^2\ge b^2+c^2$。従って $a^2+b^2+c^2\le2a^2\le8$。 他の角についても同様なので，辺の二乗和が8を超えるなら三角形は鋭角である。 (2) 円の中心を原点とし，頂点へのベクトルを $\boldsymbol x,\boldsymbol y,\boldsymbol z$ とおく。各長さは1。展開して $$AB^2+BC^2+CA^2=9-|\boldsymbol x+\boldsymbol y+\boldsymbol z|^2\le9.$$ 等号なら $\boldsymbol x+\boldsymbol y=-\boldsymbol z$ なので $1=2+2\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y$。他の組も同様に内積 $-1/2$ で，各辺の二乗は3となり正三角形である。 逆に円に内接する正三角形は中心が重心でもあるので3ベクトルの和が0となり等号が成立する。