京都大学
2002年度の数学京都大学・全6問
- 1数列 aₙ の初項 a₁ から第n項 aₙ までの和を Sₙ と表す。この数列が a₁ = 1, lim(n→∞) Sₙ = 1, n(n - 2)aₙ₊₁ = Sₙ (n ≧ 1) を満たす…
- 2半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある。 (1) AB² + BC² + CA² > 8 ならば△ABCは鋭角三角形であることを示せ。 (2) AB² + BC² + CA² ≦ 9…
- 3f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1 は整数を係数とするxの4次式とする。4次方程式 f(x) = 0 の重複も込めた4つの解のうち，2つは整数で残りの2つは虚数である…
- 4(1) x ≧ 0 で定義された関数 f(x) = log(x + √(1 + x²)) について，導関数 f'(x) を求めよ。 (2) 極方程式 r = θ (θ ≧ 0) で定義される曲…
- 5a, b, c を実数とする。y = x³ + 3ax² + 3bx と y = c のグラフが相異なる3つの交点を持つという。このとき a² > b が成立することを示し，さらにこれらの交点…
- 60 < θ < 90 とし，aは正の数とする。複素数平面上の点 z₀, z₁, z₂, … をつぎの条件(i), (ii)を満たすように定める。 (i) z₀ = 0, z₁ = a (ii)…