京都大学
2006年度の数学京都大学・全6問
- 1Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)では割り切れないが，P(x)²はQ(x)で割り切れるという。このとき2次方程式Q(x)=0は重解を持つことを示せ。
- 2点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), P(5+t, 9+2t, 5+3t)とする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。また…
- 3関数y=f(x)のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのx≤0の部分は、軸がy軸に平行で、点(-1/2, 1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このとき…
- 42以上の自然数nに対し，nとn²+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ。
- 5△ABCに対し，辺AB上に点Pを，辺BC上に点Qを，辺CA上に点Rを，頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき，この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示…
- 60<α<π/2として，関数FをF(θ)=∫0^θ x cos(x+α) dxで定める。θが[0,π/2]の範囲を動くとき，Fの最大値を求めよ。