1京都大学 2006年 数学 第1問解答・解説

解答

整式の除法により、ある整式 $S$ と次数が2未満の整式 $R$ を用いて $$P(x)=Q(x)S(x)+R(x),\qquad \deg R<2$$ と書ける。$Q$ は $P$ を割り切らないので $R\ne0$ である。さらに $$P(x)^2=Q(x)\bigl(Q(x)S(x)^2+2S(x)R(x)\bigr)+R(x)^2$$ と表せる。仮定では $Q$ が $P^2$ を割り切るから、$Q$ は $R^2$ も割り切る。

$R$ が0でない定数なら $R^2$ も0でない定数となり、次数2の $Q$ が $R^2$ を割り切ることはできない。したがって $R$ は一次式であり、$R(x)=ux+v$（$u\ne0$）と書ける。$R^2$ と $Q$ はともに次数2で、$Q\mid R^2$ だから、ある定数 $c\ne0$ に対して $$R(x)^2=cQ(x)$$ となる。従って $$\displaystyle Q(x)=\frac1c(ux+v)^2$$ であり、$Q(x)=0$ は $\boxed{x=-v/u}$ を重解にもつ。